Eksamensnoter fra Martin Sparre & Peter Holthe Hansen
Indhold
5
8
9
Den komplekse eksponentialfunktion
10
12
Grundlæggende definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Differentialkvotienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
16
Beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
19
Biologi-differentialligningerne - Beviser
21
24
11 Separation af de variable og entydighed
25
27
29
13.1 Introduktion til vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
13.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
13.3 Metrik og skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
13.4 Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.5 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.6 Projektion af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
33
14.1 Objekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
14.1.1 Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
14.1.2 Kugler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
14.1.3 Planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
36
15.1 Gennemsnit og standardafvigelse . . . . . . . . . . . . . . . .
36
15.1.1 Grundlæggende definitioner . . . . . . . . . . . . . . .
36
15.1.2 Frekvens og Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . .
36
15.2 Exceptionelle udfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
azoner og excepptionelle udfald . .
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
15.3 Endeligt sandsynlighedsfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
15.4 Binomialfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
15.4.1 Binomialkoefficienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
15.4.2 Stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Eksamensnoter
1
Andengradsligningen
En andengradsligning er en ligning indeholdende et andenordenspolynomi-
um (andengradspolynomium) af ´en variabel x.
ax
2
+ bx + c = 0,
(1.1)
hvor a 6= 0. Eftersom der er tale om et andengradspolynomium, siger Al-
gebraens fundamentalsætning
, at der til ovenst˚
aende ligning er to løsninger.
Disse løsninger kan være reelle s˚
avel som komplekse.
Rødderne x kan findes ved
”
completing the square“,
x
2
+
b
a
x = −
c
a
x +
b
2a
2
= −
c
a
+
b
2
4a
2
=
b
2
− 4ac
4a
2
x +
b
2a
=
±
√
b
2
− 4ac
2a
Løser man for x, f˚
as
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
,
hvilket er den kendte løsningsformel for andengradsligninger.
En anden form af denne løsningsformel f˚
as ved at dividere (1.1) igennem
med x
2
:
a +
b
x
+
c
x
2
= 0
c
1
x
2
+
b
cx
+ a = 0
c
1
x
+
b
2c
2
= c
b
2c
2
− a =
b
2
4c
−
4ac
4c
=
b
2
− 4ac
4c
.
Deraf f˚
as,
1
x
+
b
2c
= ±
√
b
2
− 4ac
2c
1
x
=
−b ±
√
b
2
− 4ac
2c
x =
2c
−b ±
√
b
2
− 4ac
1
Se 3 Algebraens Fundamentalsætning
Eksamensnoter
Denne form er god, hvis b
2
≫ 4ac, hvor ≫ betyder
”
meget større end“,
hvor den
”
normale“ form af løsningsformlen for andengradsligninger kan give
upræcise nummeriske resultater for en af rødderne. Dette kan løses ved at
definere
q ≡ −
1
2
b + sgn(b)
p
b
2
− 4ac
s˚
a b og udtrykket under rodtegnet altid har samme fortegn. Hvis b > 0,
s˚
a har vi
q = −
1
2
b +
p
b
2
− 4ac
og
1
q
=
−2
b +
√
b
2
− 4ac
b −
√
b
2
− 4ac
b −
√
b
2
− 4ac
=
−2
b −
√
b
2
− 4ac
b
2
− (b
2
− 4ac)
=
−2
b −
√
b
2
− 4ac
4ac
=
−b +
√
b
2
− 4ac
2ac
,
s˚
a
x
1
≡
q
a
=
−b −
√
b
2
− 4ac
2a
x
2
≡
c
q
=
−b +
√
b
2
− 4ac
2a
Analogt, hvis b < 0, s˚
a har vi
q = −
1
2
b −
p
b
2
− 4ac
=
1
2
−b +
p
b
2
− 4ac
og
1
q
=
2
−b +
√
b
2
− 4ac
b +
√
b
2
− 4ac
b +
√
b
2
− 4ac
=
2
b +
√
b
2
− 4ac
−b
2
+ (b
2
− 4ac)
=
b +
√
b
2
− 4ac
−2ac
=
−b −
√
b
2
− 4ac
2ac
,
s˚
a
x
1
≡
q
a
=
−b +
√
b
2
− 4ac
2a
x
2
≡
c
q
=
−b −
√
b
2
− 4ac
2a
Eksamensnoter
Derfor er rødderne altid givet ved x
1
= q/a og x
2
= c/q.
Overvej nu ligningen p˚
a formen
a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
= 0,
med rødderne z
1
og z
2
. Disse løsninger opfylder Vieta’s formler
z
1
+ z
2
= −
a
1
a
2
z
1
z
2
=
a
0
a
2
.
Eksamensnoter
2
Taylorrækker
En Taylorrække er en rækkeudvikling af en funktion om et punkt. En etdi-
mensionel Taylorrække er en udvikling af en reel funktion f (x) om et punkt
x = a og er givet ved:
f (x) = f (a) + f
′
(a)(x − a) +
f
′′
(a)
2!
(x − a)
2
+
f
(3)
(a)
3!
(x − a)
3
+ . . . +
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
+ . . . .
=
∞
X
n
=0
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
Hvis a = 0, er udviklingen kendt som en Maclaurinrække.
Taylorrækker af nogle almindelige funktioner:
1
1 − x
=
1
1 − a
+
x − a
(1 − x)
2
+
(x − a)
2
(1 − x)
3
+ . . .
cos x = cos a − sin a(x − a) −
1
2
cos a(x − a)
2
+
1
6
sin a(x − a)
3
+ . . .
e
x
= e
a
1 + (x − a) +
1
2
(x − a)
2
+
1
6
(x − a)
3
+ . . .
Eksamensnoter
3
Algebraens fundamentalsætning
Enhver ligning af formen P (x) = 0, hvor P (x) er et polynomium med kom-
plekse koefficienter og af grad ≥ 1, har mindst ´en kompleks rod. Denne
sætning blev bevist af Gauss. Den er ækvivalent med udsagnet om, at et
polynomium P (z) af grad n har n værdier z
i
(nogle af dem m˚
aske af al-
gebraisk multiplicitet > 1) for hvilke P (z
i
) = 0. S˚
adanne værdier kaldes
rødder i det givne polynomium. Et eksempel p˚
a et polynomium med en
enkelt rod af algebraisk multiplicitet > 1 er z
2
− 2z + 1 = (z − 1)(z − 1),
der har z = 1 som rod af algebraisk multiplicitet 2. Et andet eksempel er
z
3
= (z −0)(z −0)(z −0), der har z = 0 som rod af algebraisk multiplicitet 3.
Et bevis herfor føres ikke i denne notesamling, da et s˚
adant er alt for
stort, men kort kan den mest kendte fremgangsm˚
ade til at bevise sætnin-
gen bringes. Først udvides differentialregningen til komplekse funktioner, og
man viser, at et komplekst polynomium er en differentiabel funktion. Lad f
være et polynomium, som ikke er konstant. Antag, at f ingen rødder har,
alts˚
a at f (x) 6= 0 for alle x ∈ C. Da har vi en veldefineret kompleks funktion
g(x) =
1
f
(x)
. Man kan vise, at g er en begrænset funktion - det vil sige, at
|g(x)| er begrænet - og dette betyder, at g er konstant (dette kendes ogs˚
a
som Liouvilles Sætning). Heraf følger, at ogs˚
a f er konstant, og det er noget
vrøvl!
Bemærk, at algebraens fundamentalsætning kun udtaler sig om eksi-
stensen af rødderne. Den udtaler sig ikke om, hvordan man finder dem! I
tilfældet, hvor f (x) = ax
2
+ bx + c er et andengradspolynomium, kan man
faktiskbruge den velkendte formel
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
for rødderne. Bemærk, at denne nu altid giver mening, idet vi nu godt
kan tage kvadratroden af et negativt tal.
Man kan faktisk ogs˚
a nedfælde løsningsformler for tredjegrads- og fjer-
degradsligninger, men disse formler er meget komplicerede. Mere nedsl˚
aende
er det, at det faktisk er bevist, at man ikke kan skrive løsningformler ned
for n-tegradsligninger, n˚
ar n = 5. Matematikken, der skal bruges til at vise
dette, er meget langh˚
aret, s˚
a det kommer vi ikke ind p˚
a i denne omgang.
Eksamensnoter
4
Den komplekse eksponentialfunktion
Vi vil nu betragte eksponentialfunktionen, som er givet ved,
f (x) = e
kx
,
(4.1)
hvor k normalt er en reel konstant og x ∈ R. Taylorrækken for e
kx
er givet
ved:
e
kx
= 1 + kx +
k
2
x
2
2!
+
k
3
x
3
3!
+ . . . =
∞
X
n
=0
k
n
x
n
n!
(4.2)
Desuden husker vi p˚
a taylorrækkerne for cos x og sin x:
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+
x
9
9!
+ . . .
(4.3)
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+
x
8
8!
+ . . .
(4.4)
Inden denne funktion betragtes yderligere, indføres den imaginære enhed, i,
som faslægges ved
i
2
= −1
(4.5)
Nogle værdier for i
n
opskrives for nogle heltallige værdier af n:
i
0
= 1
(4.6)
i = i
(4.7)
i
2
= −1
(4.8)
i
3
= −i
(4.9)
i
4
= 1
(4.10)
i
5
= i
(4.11)
i
6
= −1
(4.12)
i
7
= −i
(4.13)
i
8
= 1
(4.14)
Herudfra laves en rækkeudvikling af e
ix
:
e
ix
= 1 + ix +
i
2
x
2
2!
+
i
3
x
3
3!
+
i
4
x
4
4!
+
i
5
x
5
5!
+
i
6
x
6
6!
+
i
7
x
7
7!
+
i
8
x
8
8!
+ . . .
= 1 + ix −
x
2
2!
− i
x
3
3!
+
x
4
4!
+ i
x
5
5!
−
x
6
6!
− i
x
7
7!
+
x
8
8!
+ . . .
= 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+
x
8
8!
+ . . . + i(x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
. . .)
= cos x + i sin x
(4.15)
Eksamensnoter
Endvidere m˚
a der gælde, at
e
−
ix
= cos x − i sin x
(4.16)
thi cos(−x) = cos x og sin(−x) = − sin(x).
Vi har nu de to sammenhænge,
e
ix
= cos x + i sin x
(4.17)
e
−
ix
= cos x − i sin x
(4.18)
Ved at sætte cos x = cos x i disse f˚
as følgende:
e
ix
− i sin x = e
−
ix
+ i sin x
(4.19)
sin x =
e
ix
− e
−
ix
2i
(4.20)
og tilsvarende f˚
as for cos x:
cos x =
e
ix
+ e
−
ix
2
(4.21)
Dette er definitionerne af sinus og cosinus.
Vis nu hvordan de hyperbolske funktioner defineres. Tegn desuden f (x) =
e
ix
og vis at ℜ(e
ix
) = cos x og ℑ(e
ix
) = sin x. – Det er netop enhedscirklen
i forklædning!
Eksamensnoter
5
Differentialregning
5.1
Grundlæggende definitioner
Definition 5.1
(Kontinuitet). En funktion, f (x), siges at være kontinuert
i et interval I, s˚
afremt
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
(5.1)
for alle x ∈ I.
Definition 5.2
(Differentiabilitet og differentialkvotient). En funktion, f (x),
er differentiabel i et interval I s˚
afremt grænseværdien,
lim
x→x
0
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
,
(5.2)
eksisterer for alle x
0
∈ I.
S˚
afremt grænseværdien eksisterer kaldes denne differentialkvotienten.
Bemærkning 1
(Notation i forbindelse med differentialkvotient). Differen-
tialkvotienten kan eksempelvis skrives som
f
′
(x),
d
f (x)
d
x
,
D(f )
(5.3)
Hvis man henviser til til differentialkvotienten i en punkt (x
0
, f (x
0
)), kan
dette skrives som
f
′
(x
0
)
,
d
f (x)
d
x
x
=x
0
,
d
f
d
x
x
=x
0
,
D(f )(x
0
)
(5.4)
Sætning 1.
En funktion, der er differentiabel i x
0
, er kontinuert i x
0
.
Bevis. Vi betragter en differentiabel funktion, f (x), defineret i et interval
omkring x
0
. f (x) m˚
a opfylde følgende:
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
→ f
′
(x
0
) for x → x
0
(5.5)
En kontinuert funktion opfylder følgende:
f (x) − f(x
0
) → 0 for x → x
0
.
(5.6)
Dette er en følge af 5.1.
For x 6= x
0
gælder
f (x) − f(x
0
) =
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
(x − x
0
)
(5.7)
Hvis vi lader x g˚
a mod x
0
f˚
ar vi:
f (x) − f(x
0
) → f
′
(x
0
) · 0 for x → x
0
(5.8)
Det følger heraf, at f (x) − f(x
0
) → 0 for x → x
0
.
Eksamensnoter
5.2
Differentialkvotienter
Sætning 2
(Differentiation af x
2
). Funktionen, f (x) = x
2
, er differentiabel
og f
′
(x
0
) = 2x
0
.
Bevis. Differenskvotienten opskrives:
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
=
x
2
− x
2
0
x − x
0
=
(x + x
0
)(x − x
0
)
x − x
0
= x + x
0
(5.9)
For x → x
0
er f
′
(x
0
) = 2x
0
.
Alternativt Bevis. Vi skal finde
d
f
d
x
. Dette gør vi ved at finde sekanthæld-
ningen for en sekant gennnem (x
0
, f (x
0
)) og (x
0
+ d x, f (x
0
+ d x)), hvor d x
er en infinitesimal størrelse:
d
f
d
x
=
(x + d x)
2
− x
2
(x + d x) − x
(5.10)
=
x
2
+ (d x)
2
+ 2xd x − x
2
d
x
(5.11)
= d x + 2x
(5.12)
= 2x
(5.13)
Til sidst har vi ”smidt”den infinitesimale størrelse d x væk. Dette kan vi
gøre, efterdi denne er infinitesimal.
Vi har her bevist den samme sætning p˚
a to forskellige m˚
ader. I det første
bevis fandt vi grænseværdien for differenskvotienten for x → x
0
og i det
andet bevis, opskrev vi sekanthældningen for en sekant gennem (x
0
, f (x
0
))
og (x
0
+ d x, f (x
0
+ d x)).
Fordelen ved den første bevistype er helt klart, at vi slipper for at skulle
smide noget væk, som vi gjorde det i (5.13). Der skal s˚
aledes ikke herske
nogen tvivl om, at det første bevis matematisk set er mere pænt og mere
korrekt end det andet bevis.
Men derimod giver det andet bevis en langt bedre indsigt i, hvordan man
kan regne med infitesimale størrelser.
Det skal ogs˚
a bemærkes, at den oprindelige differentialregning, som blev
udviklet af Newton og Leibnitz, byggede p˚
a infinitesimaler og fluktioner og
ikke p˚
a grænseværdier.
Sætning 3
(Differentiation af et produkt). Hvis funktionerne, f og g, er
differentiable i x
0
gælder:
(f · g)
′
(x
0
) = f
′
(x
0
) · g(x
0
) + g(x
0
) · g
′
(x
0
)
(5.14)
Eksamensnoter
Bevis. Først opskrives differenskvotienten for (f · g)
′
(x
0
), idet h(x) ≡ (f ·
g)(x):
h(x) − h(x
0
)
x − x
0
=
(f (x) · g(x)) − (f(x
0
) · g(x
0
))
x − x
0
(5.15)
=
(f (x) − f(x
0
))g(x) + f (x
0
) · g(x) − f(x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
(5.16)
=
(f (x) − f(x
0
))g(x) + f (x
0
)(g(x) − g(x
0
))
x − x
0
(5.17)
=
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
g(x) + f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
(5.18)
I (5.16) udnyttede vi, at f (x) = (f (x) − f(x
0
)) + f (x
0
).
Hvis vi lader x g˚
a mod x
0
f˚
ar vi:
(f · g)
′
(x
0
) = f
′
(x
0
)
| {z }
1
· g(x
0
)
| {z }
2
+f (x
0
) · g
′
(x
0
)
| {z }
3
(5.19)
Her er begrundelser for de givne grænseværdier:
1. Da f er differentiabel g˚
ar differenskvotienten mod differentialkvotien-
ten.
2. Da g er differentiabel, er denne ogs˚
a kontinuert, s˚
aledes at g(x) →
g(x
0
) for x → x
0
.
3. Da g er differentiabel g˚
ar differenskvotienten mod differentialkvotien-
ten.
Hermed er det ønskede bevist.
Sætning 4
(Differentiation af en brøk). Hvis funktionerne, f og g, er dif-
ferentiable i x
0
gælder:
f
g
′
(x
0
) =
f
′
(x
0
) · g(x
0
) − f(x
0
) · g
′
(x
0
)
(g(x
0
))
2
(5.20)
Bevis. Beviset udelades, da der ikke er plads i marginen.
Sætning 5
(Differentiation af en sammensat funktion). Lad g være en funk-
tion, der er differentiabel i x
0
, og lad f være en funktion, der er differentiabel
i g(x
0
). Den sammensatte funktion, f ◦ g, er da differentiabel i x
0
, og der
gælder:
(f ◦ g)
′
(x
0
) = f
′
(g(x
0
)) · g
′
(x
0
)
(5.21)
Eksamensnoter
Bevis. Vi indfører, at h ≡ f ◦ g. Differenskvotienten for h opskrives:
h(x) − h(x
0
)
x − x
0
=
f (g(x)) − f(g(x
0
))
x − x
0
(5.22)
Vi forudsætter, at g(x) 6= g(x
0
). Vi kan nu foretage følgende omskrivning:
h(x) − h(x
0
)
x − x
0
=
f (g(x)) − f(g(x
0
))
x − x
0
(5.23)
=
f (g(x)) − f(g(x
0
))
g(x) − g(x
0
)
·
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
(5.24)
For x → x
0
f˚
as
(f ◦ g)
′
(x
0
) = f
′
(g(x
0
))
|
{z
}
1
· g
′
(x
0
)
| {z }
2
(5.25)
Her er begrundelser for de givne grænseværdier:
1. Da f er differentiabel i g(x
0
) vil
f (g(x)) − f(g(x
0
))
g(x) − g(x
0
)
→ f
′
(g(x
0
)) for
x → x
0
.
2. Da g er differentiabel i x
0
er denne ogs˚
a kontinuert x
0
s˚
aledes, at
g(x) → g(x
0
) for x → x
0
.
Hermed er beviset slut (Under forudsætningen, at g(x) 6= g(x
0
) i et interval
omkring x
0
)
Eksamensnoter
6
Integration
6.1
Beviser
Sætning 6
(Partiel integration). Lad f være kontinuert og g være differen-
tiabel med kontinuert afledet p˚
a et interval, I, og lad a, b ∈ I. Lad endvidere
F være en stamfunktion til f og g
′
være den afledte af g. S˚
a gælder
Z
b
a
f (x) · g(x)d x = [F (x) · g(x)]
b
a
−
Z
b
a
F (x) · g
′
(x)d x
(6.1)
Bevis. Via produktreglen for differentiation f˚
as:
(F (x) · g(x))
′
= F
′
(x) · g(x) + F (x) · g
′
(x)
(6.2)
Produktreglen kunne bruges, efterdi F og g er differentiable i I. At F er
differentiabel følger direkte af, at F er stamfunktion til f og, at g er diffe-
rentiabel følger af forudsætningerne i sætningen.
Af (6.2) følger direkte:
[F (x) · g(x)]
b
a
=
Z
b
a
F
′
(x) · g(x) + F (x) · g
′
(x) d x
⇐⇒
(6.3)
Z
b
a
f (x) · g(x) d x = [F (x) · g(x)]
b
a
−
Z
b
a
F (x) · g
′
(x) d x
(6.4)
Omskrivningen fra (6.2) til (6.3) kunne lade sig gøre, da F , g, F
′
= f og
g
′
var kontinuerte (Husk, at hvis en funktion er differentiabel er det en
implikation, at funktionen ogs˚
a er kontinuert).
Sætning 7
(Integration ved substitution). Lad g være differentiabel med
kontinuert afledet i et interval I og lad f være kontinuert i værdimængden
for g. N˚
ar a, b ∈ I gælder:
Z
b
a
f (g(x))g
′
(x)d x =
Z
g
(b)
g
(a)
f (t)d t
(6.5)
Bevis. Ifølge reglen for differentiation af en sammensat funktion gælder:
(F (g(x)))
′
= F
′
(g(x))g
′
(x)
(6.6)
Her er F
′
= f . Idet F og g er differentiable er (6.6) et sandt udtryk.
Af (6.6) følger umiddelbart:
Z
b
a
f (g(x))g
′
(x)d x = [F (g(x))]
b
a
(6.7)
= [F (t)]
g
(b)
g
(a)
(6.8)
=
Z
g
(b)
g
(a)
f (t)d t
(6.9)
Eksamensnoter
7
Gammafunktionen
Gammafunktionen defineres for positive tal ved
Γ(x) ≡
Z
∞
0
t
x−
1
e
−
t
d
t,
x > 0
(7.1)
Metoden for partiel integration ser s˚
aledes ud:
Z
b
a
f (t) · g(t)d t = [F (t) · g(t)]
b
a
−
Z
b
a
F (t) · g
′
(t)d t
(7.2)
For Γ(x) sætter vi
f (t) = e
−
t
og g(t) = t
x−
1
,
(7.3)
hvilket medfører, at
F (t) = −e
−
t
og g
′
(t) = (x − 1)t
x−
2
.
(7.4)
Dvs.,
Γ(x) =
Z
∞
0
t
x−
1
· e
−
t
d
t
(7.5)
=
−e
−
t
· t
x−
1
∞
0
−
Z
∞
0
−e
−
t
· (x − 1)t
x−
2
d
t
(7.6)
=
−e
−
t
· t
x−
1
∞
0
+ (x − 1)
Z
∞
0
e
−
t
· t
x−
2
d
t
(7.7)
Det ses, at
−e
−
t
· t
x−
1
∞
0
= 0 for x > 0. Dette giver
Γ(x) = (x − 1)
Z
∞
0
e
−
t
· t
x−
2
d
t .
(7.8)
Ved at addere x med 1 f˚
as:
Γ(x + 1) = x
Z
∞
0
e
−
t
· t
x−
1
d
t
(7.9)
= xΓ(x).
(7.10)
Vi har alts˚
a vist sammenhængen,
Γ(x + 1) = xΓ(x)
(7.11)
For gammafunktionen gælder s˚
aledes for heltal,
Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1)
(7.12)
= (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
(7.13)
= (n − 1)(n − 2) . . . 1
(7.14)
= (n − 1)!
(7.15)
Eksamensnoter
Der gælder s˚
aledes, at
Γ(n + 1) = n!
(7.16)
hvor n ∈ Z.
Det kan s˚
aledes for eksempel vises, at 0! = 1:
Γ(1) =
Z
∞
0
t
0
e
−
t
d
t
(7.17)
=
−e
−
t
∞
0
(7.18)
= 1
(7.19)
Dette er jo ogs˚
a klart, thi n! er antallet permutationer af en n-mængde. Og
en mængde med 0 elementer er jo netop den tomme mængde.
Eksamensnoter
8
Numerisk Integration
I det følgende vises det, hvorledes man kan bestemme værdier af bestemte
integraler. Det forudsættes, at integranten er kontinuert p˚
a et interval, I,
og at den øvre grænse samt den nedre grænse for det bestemte integrale, er
et element i I.
Først laves en figur:
Fig. 1:
P˚
a denne figur ses en række søjler under f . Punktet, P
0
, angiver
funktionsværdien midt i den første søjle.
P˚
a figuren er indtegnet en funktion, f , der er kontinuert p˚
a et interval, I.
Integralet, som vi vil finde, har den nedre grænse, a, den øvre grænse, b, og
der gælder, at a, b ∈ I.
S˚
afremt b ≥ a og f er større end eller lig nul i intervallet [a; b], er det
bestemte integrale lig med arealet af punktmængden, M, der fastlægges ved:
M = {(x, y)|a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f(x)}
(8.1)
For at bestemme en estimeret værdi for det bestemte integrale, kan man
s˚
aledes (i dette tilfælde) bestemme en approksimeret værdi for arealet af
punktmængden, M. Af figuren er indtegnet nogle søjler, der har bredden,
∆x. Antallet af søjler betegnes n. Ved at betragte figuren f˚
as, at
n =
|b − a|
∆x
(8.2)
Eksamensnoter
En estimeret værdi for arealet af den første søjle er følgende:
f
a +
∆x
2
∆x
(8.3)
Arealet af den anden søjle kan vil tilsvarende approksimeres til
f
a +
∆x
2
+ ∆x
∆x
(8.4)
Ved at gentage denne proces n gange f˚
as, at arealet kan approksimeres til
Areal =
n−
1
X
i
=0
f (x
i
+
1
2
∆x)∆x
(8.5)
hvor x
i
= a + i · ∆x.
Hvis vi lader ∆x g˚
a mod 0, s˚
aledes at ∆x = d x, f˚
as det bestemte inte-
grale p˚
a sin sædvanlige form:
Z
b
a
f (x) d x
(8.6)
I dette bevis er det forudsat, at b ≥ a og at f(x) ≥ 0 i intervallet [a; b].
Dette er dog ikke generelle betingelser og den angivede formel kan s˚
aledes,
altid bruges s˚
afremt f er kontinuert i det interval, der integreres over.
Der gælder s˚
aledes følgende:
Z
b
a
f (x) d x ≈
n−
1
X
i
=0
f (x
i
+
∆x
2
)∆x
(8.7)
hvor n =
|b − a|
∆x
.
Eksamensnoter
9
Biologi-differentialligningerne - Beviser
De følgende beviser er baseret p˚
a sætningen, der siger, at
y
′
= 0
(9.1)
har den fuldstændige løsning
y = c,
c ∈ R
(9.2)
Sætning 8.
Differentialligningen,
y
′
= ay
(9.3)
har den fuldstændige løsning
y = c e
ax
,
c ∈ R.
(9.4)
Bevis. En funktion, g(x), er fastlagt ved følgende:
g(x) = f (x) e
−
ax
.
(9.5)
g(x) er endvidere defineret til at være en løsning til y
′
= 0. Først vises
det, at f (x) er en løsning til y
′
= ay, hvilket viser sig, at være en direkte
konsekvens af definitionen af g(x):
f (x) e
−
ax
er en løsning til y
′
= 0
⇐⇒
(9.6)
f (x) e
−
ax
′
= 0
⇐⇒
(9.7)
f
′
(x) e
−
ax
+ f (x)(−a) e
−
ax
= 0
⇐⇒
(9.8)
f
′
(x) − af(x) = 0
⇐⇒
(9.9)
f
′
(x) = af (x).
(9.10)
Det er s˚
aledes vist, at f (x) er en løsning til y
′
= ay.
Ved anvendelse af, at g(x) er en løsning til y
′
= 0 f˚
as umiddelbart, at
f (x) e
−
ax
= c,
(9.11)
hvor c er konstant. Ved isolation af f (x) f˚
as
f (x) = c e
ax
.
(9.12)
Sætning 9.
Differentialligningen,
y
′
= b − ay,
a 6= 0
(9.13)
har den fuldstændige løsning
y =
b
a
+ c e
−
ax
,
c ∈ R.
(9.14)
Eksamensnoter
Bevis. En funktion, g(x), fastlægges ved
g(x) = f (x) −
b
a
(9.15)
hvor g(x) defineres til at være en løsning til y
′
= −ay. Det vises først, at
f (x) er en løsning til y
′
= b − ay:
f (x) −
b
a
er en løsning til y
′
= −ay
⇐⇒
(9.16)
f (x) −
b
a
′
= −a
f (x) −
b
a
⇐⇒
(9.17)
f
′
(x) = b − af(x).
(9.18)
f (x) er s˚
aledes en løsning til y
′
= b − ay. Vi kan skrive g(x) som
g(x) = f (x) −
b
a
(9.19)
= ce
−
ax
.
(9.20)
Dvs.,
f (x) −
b
a
= c e
−
ax
⇐⇒
(9.21)
f (x) =
b
a
+ c e
−
ax
.
(9.22)
Sætning 10.
Den logistiske differentialligning,
y
′
= ay(M − y),
a 6= 0, M 6= 0
(9.23)
har den fuldstændige løsning,
y = 0
∨
y =
M
1 + ce
−
aM x
,
c ∈ R.
(9.24)
Bevis. Den trivielle løsning til sætning 10 kan nemt bevises ved indsættelse
af y = 0 i (9.23)
Vi skal som beskrevet vise, at den logistiske differentialligning derudover
har den ikke-trivielle løsning,
y =
M
1 + c e
−
aM x
.
(9.25)
Vi skriver leddet ce
−
aM x
, som en funktion g(x) ≡ ce
−
aM x
. Det er tidligere
bevist, at en funktion som g(x) er løsning til y
′
= −aMy. Ved indsættelse
af g(x) i (9.25) f˚
as
f (x) =
M
1 + g(x)
.
(9.26)
Eksamensnoter
Ved isolation af g(x) i (9.26) f˚
as:
g(x) =
M
f (x)
− 1.
(9.27)
Ved udnyttelse af, at g(x) er løsning til y
′
= −aMy kan vi vise, at f(x) er
løsning til differentialligningen, y
′
= ay(M − y):
g(x) er løsning til y
′
= −aMy ⇐⇒
(9.28)
M
f (x)
− 1 er løsning til y
′
= −aM
M
f (x)
− 1
⇐⇒
(9.29)
d
d
x
M
f (x)
− 1
= −aM
M
f (x)
− 1
⇐⇒
(9.30)
−Mf
′
(x)
(f (x))
2
= −aM
M
f (x)
− 1
⇐⇒
(9.31)
f
′
(x) = a(f (x))
2
M
f (x)
− 1
⇐⇒
(9.32)
f
′
(x) = af (x)(M − f(x)).
(9.33)
Af (9.33) fremg˚
ar det direkte, at f (x) er en løsning til y
′
= ay(M − y). Nu
mangler vi blot at bestemme løsningsformlen for differentialligningen.
Det vides, at g(x) er løsning til y
′
= −aMy. Ved indsættelse af g(x) =
ce
−
aM x
i (9.27) f˚
as
M
f (x)
− 1 = ce
−
aM x
,
c ∈ R
⇐⇒
(9.34)
f (x) =
M
1 + ce
−
aM x
,
M 6= 0.
(9.35)
Da M 6= 0 ses det, at en løsning p˚
a formen (9.35) ikke kan have funktions-
værdien, 0. Nulløsningen og den anden ikke-trivielle løsning vil s˚
aledes aldrig
overlappe hverandre.
Eksamensnoter
10
Panserformlen
Sætning 11
(Panserformlen). Hvis p og q er kontinuerte funktioner p˚
a et
interval I har differentialligningen,
y
′
+ p(x)y = q(x),
x ∈ I
(10.1)
den fuldstændige løsning,
y(x) = e
−
P
(x)
Z
e
P
(x)
q(x)d x + Ce
−
P
(x)
(10.2)
Bevis. Da p er kontinuert i I har denne en stamfunktion, P , i dette interval.
Da e
P
(x)
> 0 for alle x ∈ I har (10.1) samme løsninger som
e
P
(x)
y
′
+ e
P
(x)
p(x)y = e
P
(x)
q(x) .
(10.3)
Venstresiden er differentialkvotienten af et produkt. Heraf f˚
as:
d
d
x
e
P
(x)
y
= e
P
(x)
q(x)
⇐⇒
(10.4)
e
P
(x)
y =
Z
e
P
(x)
q(x) d x + C,
C ∈ R
⇐⇒
(10.5)
y = e
−
P
(x)
Z
e
P
(x)
q(x)d x + Ce
−
P
(x)
(10.6)
Vi har til sidst indført den arbitrære konstant, C. y(x) er her defineret
i hele I.
Til tider skrives panserformlen ogs˚
a som følgende:
y(x) = e
−
R p(x)d x
Z
e
R p(x)d x
q(x)d x + Ce
−
R p(x)d x
(10.7)
Den kaldes panserformlen, efterdi den er pansret til med integraltegn!
Eksamensnoter
11
Separation af de variable og entydighed
Vi vil betragte differentialligningen
d
y
d
x
=
y(1 − y)
1 + x
2
(11.1)
og vurdere egenskaberne af løsningerne til denne.
Først ses det, at udtrykket y(1 − y) netop er 0 for y = 0 samt for y = 1.
Differentialligningen (11.1) har s˚
aledes de to konstante løsninger,
f (x) = 0, x ∈ R
g(x) = 1, x ∈ R
Inden der gøres yderligere betragtninger om (11.1) vil vi dog lige tage et kig
p˚
a entydighedssætningen:
Sætning 12
(Entydighedssætningen). Lad I være et interval der indeholder
x
0
og J et interval der indeholder y
0
og betragt s˚
a begyndelsesværdiproblemet
d
y
d
x
= h(x) · g(y), x ∈ I, y ∈ J , y(x
0
) = y
0
.
Hvis h er kontinuert i I og g er differentiabel med kontinuert afledet i J ,
s˚
a har begyndelsesværdiproblemet højst ´en løsning defineret i I med værdier
i J .
Vi vil nu ses p˚
a egenskaberne for eventuelle ikke-konstante løsnigner. Vi
vil se p˚
a tre forskellige intervaller:
J
1
= ]1; ∞[
J
2
= ]0; 1[
J
3
= ] − ∞; 0[
Ifølge entydighedssætningen kan eventuelle ikke-konstante løsninger have et
af de ovenst˚
aende tre intervaller som værdimængde.
S˚
afremt en løsning har J
1
som værdimængde er y > 1 for alle x i den
givne funktions definitionsmængde (Denne kaldes I
1
). At y > 1 betyder
følgende:
y > 1 =⇒
y(1 − y)
1 + x
2
< 0 ⇐⇒
d
y
d
x
< 0 =⇒ y er aftagende, n˚
ar x ∈ I
1
Tilsvarende kan det vises, at følgende gælder for løsninger med værdier i
henholdsvis J
2
og J
3
:
0 < y < 1 =⇒
y(1 − y)
1 + x
2
> 0 ⇐⇒
d
y
d
x
> 0 =⇒ y er voksende, n˚
ar x ∈ I
2
y < 0 =⇒
y(1 − y)
1 + x
2
< 0 ⇐⇒
d
y
d
x
< 0 =⇒ y er aftagende, n˚
ar x ∈ I
3
Det skal selvfølgelig bemærkes, at eventuelle partikulære løsninger til diffe-
rentialligningen kun vil være defineret i et begrænset interval.
Eksamensnoter
En løsning med værdier i J
1
, J
2
eller J
3
er givet ved:
y(x) =
c
c − e
−
arctan x
,
c ∈ R \ {0}
(11.2)
Vi har her krævet, at c 6= 0 s˚
aledes, at den konstante løsning y(x) = 0 ikke
er tilladt ud fra denne formel (Vi ønskede jo at bestemme et udtryk for
løsningerne med værdimængde i intervallerne; J
1
, J
2
eller J
3
). Af (11.2) ses
det, at definitionsmængde m˚
a begrænses af at følgende skal være opfyldt:
c − e
−
arctan x
6= 0
x
y
10
10
8
8
6
4
6
2
0
4
−2
−4
2
−6
−8
0
−10
−2
−4
−6
−8
−10
Fig. 2:
Her ses et hældningsfelt samt en række løsninger med begyndel-
sesværdibetingelserne, y(−7) = 7, y(1) = 4, y(1) = 1, y(0) = 0.5, y(1) =
0, y(−6) = −2, y(5) = −8.
Eksamensnoter
12
Lamberts W-funktion
Funktionen w 7−→ we
w
er voksende for w ≥ −1 og aftagende for w ≤ −1.
Den omvendte funktion til w 7−→ we
w
, w ∈ [0 ; ∞ [ er Lamberts W-funktion
ogs˚
a kaldet omegafunktionen. Jeg vil her betegne den som W (x) (I Maple
LambertW og i Mathematica ProductLog). Den er defineret for x ≥ −e
−
1
ved
y = W (x) ⇐⇒ x = ye
y
∧ y ∈ [−1; ∞ [
Lambert (1758) overvejede løsningen til
x
α
− x
β
= (α − β)νx
α
+β
,
kendt som Lamberts transcendentale ligning. Og som det var med alt
andet matematik, kiggede Euler forbi. Euler (1783) skrev en artikel om Lam-
berts transcendentale ligning. I sin artikel præsenterede Euler tilfældet, hvor
α → β, hvor ligningen reduceres til ln x = νx
β
⇐⇒ x = exp
−
W
(−βν)
β
,
hvilket næsten er definitionen af W (x), selvom Euler foreslog, at man defi-
nerede en funktion mere lignende −W (−x). Euler citerer Lambert som ham,
der først studerede denne ligning.
Eisenstein (1844) studerede rækken af det uendelige
”
power tower“
h(z) = z
z
.
.
.
hvilket kan udtrykkes p˚
a den lukkede form
h(z) = −
W (− ln z)
ln z
Generelt gælder det, at hvis en funktion f , der er givet ved f : x 7−→ xα
x
sættes lig med et tal β, s˚
a f˚
as ved løsning af den fremkomne ligning med
hensyn til x: x =
W
(β ln α)
ln α
.
Eksempel 1.
En funktion f er givet ved f : x 7−→ xe
x
. Sættes denne lig
med 2, fremkommer ligningen xe
x
= 2, og vi er interesserede i at løse denne
med hensyn til x. Vha. definitionen for W (x) f˚
as
xe
x
= 2 ⇐⇒ x =
W (2 ln e)
ln e
⇐⇒ x = W (2)
Opløftes den variable til sig selv, gælder følgende generelle udsagn
ax
bx
= c ⇐⇒ x =
ln
c
a
b W
ln
(
c
a
)
b
Eksamensnoter
Eksempel 2.
En funktion f er givet ved f : x 7−→ 2x
3x
. Denne funktion
sættes lig med 5, og vi løser for x:
2x
3x
= 5 ⇐⇒
ln
5
2
3 W 3 ln
5
2
Eksamensnoter
13
Vektorer
13.1
Introduktion til vektorer
En vektor kan geometrisk opfattes som en skalar med en retning. En vektor
i R
3
skrives for eksempel som
a =
a
1
a
2
a
3
.
(13.1)
Hvis en repræsentant for a afsættes i
O er a retningsvektor for punktet,
(a
1
, a
2
, a
3
).
13.2
Skalarprodukt
Skalarproduktet for to vektorer, a, b
∈ R
3
, defineres ved
a · b ≡ a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
(13.2)
En sætning siger, at skalarproduktet er invariant (= uafhængigt af det
valgte koordinatsystem). For at bevise, at dette er tilfældet, isoleres a · b i
regnereglen, (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2a · b:
a · b =
1
2
(a + b)
2
− a
2
− b
2
(13.3)
=
1
2
|a + b|
2
− |a|
2
− |b|
2
(13.4)
Heraf ses det, at skalarproduktet, alene afhænger af længden af vektorerne
a og b. Og da længder pr. definition er invariante i R
3
, er skalarproduktet
ogs˚
a invariant.
Sætning 13
(Vinklen mellem to vektorer). For vinklen, v, mellem to egent-
lige vektorer i R
2
gælder
a · b = |a||b| cos v
(13.5)
Bevis. Det er netop vist, at skalarproduktet er invariant. Derfor kan vi vælge
at udregne skalarproduktet i et vilk˚
arligt koordinatsystem og f˚
a det samme
resultat, som hvis vi havde valgt et vilk˚
arligt andet koordinatsystem.
For at udføre beviset betragtes koordinatsystemet, hvor
a =
|a|
0
(13.6)
b kan s˚
a skrives som
b =
|b| cos v
|b| sin v
(13.7)
Eksamensnoter
Heraf f˚
as for prikproduktet:
a · b = |a||b| cos v
(13.8)
Det skal bemærkes, at sætning 13 eksempelvis ogs˚
a gælder for vektorer
i R
3
.
Fremgangsm˚
aden i det netop udførte bevis er bemærkelsesværdig. Vi
valgte at udregne skalarproduktet i et koordinatsystem, hvor udregningerne
var særligt lette. Uden videre kunne vi overføre resultatet til ogs˚
a at gælde
i alle andre koordinatsystemer.
Sætninger og regneregler kan alts˚
a tolkes absolut. Et udtryk som a = b+c
er s˚
aledes enten rigtigt eller forkert i alle koordinatsystemer. For at tjekke
om udtrykket er sandt, kan man definere et koordinatsystem, hvor a og b + c
afsættes i et punkt. Hvis udtrykket er sandt i dette koordinatsystem vil
det s˚
aledes ogs˚
a være rigtigt i alle andre koordinatsystemer. Man siger, at
vektorer er form-invariante over for valget af referencesystem.
13.3
Metrik og skalarprodukt
Metrikken i et rum fastlægger geometrien af et rum. I R
3
er metrikken
defineret ved
(∆r)
2
≡ (∆x)
2
+ (∆y)
2
+ (∆z)
2
(13.9)
hvor ∆r kaldes afstanden mellem to punkter, og (∆x, ∆y, ∆z) er differensen
mellem de to punkters x-, y- og z-koordinater hhv.
Eksempelvis kan kvadradet af længden af en vektor a findes som afstan-
den mellem O og retningspunktet for a, n˚
ar denne afsættes i O:
(∆r)
2
= (∆x)
2
+ (∆y)
2
+ (∆z)
2
= a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
(13.10)
Og dette er ˚
abenlyst lig a·a. Der er s˚
aledes en sammenhæng mellem prikpro-
duktet af to vektorer i et rum og metrikken i et rum.
Eksempel 3
(Metrikken i Minkowski-rumtiden). Metrikken i Minkowski-
rumtiden, M
4
, er eksempelvis defineret ved,
(∆s)
2
≡ (∆x
0
)
2
− (∆x
1
)
2
− (∆x
2
)
2
− (∆x
3
)
2
(13.11)
hvor vi alts˚
a betragter to punkter p˚
a formen, (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
).
Tilsvarende er det invariante skalarprodukt mellem to vektorer A, B
∈
M
4
givet ved
A · B ≡ A
0
B
0
− A
1
B
1
− A
2
B
2
− A
3
B
3
(13.12)
hvilket jo netop er den samme sammensætning af +’er og −’er som i (13.11).
Eksamensnoter
13.4
Tværvektor
N˚
ar en vektor a
∈ R
2
roteres 90 grader i positiv omløbsretning f˚
as dennes
tværvektor,
ˆ
a =
−a
2
a
1
(13.13)
For at bevise dette skrives vektoren først p˚
a formen,
a = |a|
cos v
sin v
(13.14)
Ved at addere v med 90 grader f˚
as det ønskede udtryk for tværvektoren:
a = |a|
cos(v + 90)
sin(v + 90)
= |a|
− sin v
cos v
=
−a
2
a
1
(13.15)
13.5
Determinant
Determinanten, det(a, b) for to vektorer a, b ∈ R
2
defineres ved
det(a, b) ≡ a
1
b
2
− a
2
b
1
(13.16)
Determinanten har bl.a. følgende egenskaber:
• det(a, b) = |a||b| sin v.
• det(a, b) = 0 ⇐⇒ a k b
∨
a = 0
∨
b = 0.
• | det(a, b)| er arealet af parallellogrammet, der udspændes af a og b.
For at bevise formlen, det(a, b) = |a||b| sin v, betragtes et koordinatsystem,
hvori de to vektorer, a, b ∈ R
2
, er givet ved:
a =
|a|
0
og
b =
|b| cos v
|b| sin v
(13.17)
Heraf f˚
as for det(a, b)
det(a, b) = ˆ
a · b =
0
|a|
·
|b| cos v
|b| sin v
= |a||b| sin v
(13.18)
Hermed er det ønskede vist.
Eksamensnoter
13.6
Projektion af vektorer
En vektor kan deles i forskellige komposanter. Eksempelvis kan en vektor
med komponenterne, (a
1
, a
2
), opløses til to andre vektorer med komponen-
terne (a
1
, 0) og (0, a
2
). Vi har s˚
aledes f˚
aet dannet 2 nye vektorer, der er
parallelle med henholdvis første- og anden-aksen.
Man kan ogs˚
a projicere en vektor a ind p˚
a en vektor b:
Sætning 14
(Projektionsformlen). Lad a være en egentlig vetkor i R
2
og
lad b være en vilk˚
arlig vektor i R
2
. S˚
a gælder følgende for projektionen af b
p˚
a a:
b
a
=
a · b
|a|
2
a
(13.19)
Bevis. Først laves en figur af en vektor b og projektionen af denne p˚
a en
vektor a:
Fig. 3:
Dette er en figur af situationen. Vektorer er markeret med fede
bogstaver.
P˚
a figuren er desuden indtegnet vektoren, b − b
a
= b − ta (t er en kon-
stant). Af figuren fremg˚
ar det, at b
a
= ta. Endvidere fremg˚
ar det, at a og
b − ta er ortogonale. Det følger heraf, at deres skalarprodukt er nul, hvilket
giver:
a · (b − ta) = 0
⇐⇒
(13.20)
a · b − ta · a = 0
⇐⇒
(13.21)
t =
a · b
|a|
2
(13.22)
Ved indsættelse af den bestemte værdi for t i b
a
= ta f˚
as:
b
a
=
a · b
|a|
2
a
(13.23)
Det skal ogs˚
a nævnes at følgende gælder:
|b
a
| =
a · b
|a|
(13.24)
Eksamensnoter
14
Rumgeometri
14.1
Objekter
I dette underafsnit præsenteres de vigtigste objekter i det tredimensionelle
rum og der præsenteres nogle mere generelle formler, som gælder i højere
dimensioner. Beviser udelades desuden.
14.1.1
Linier
Intuitivt kan man sige, at en linje er en uendelig lang og uendelig tynd lige
kurve. I det euklidiske rum er en den korteste afstand mellem to punkter
langs en linje, der forbinder de to punkter.
En linie i R
n
fastlægges ofte ved følgende delmængde af R
n
L = {a + tb | t ∈ R}
(14.1)
hvor a, b
∈ R
n
.
I R
3
skrives linien som følgende:
L =
x
0
y
0
z
0
+ t
a
b
c
t ∈ R
(14.2)
hvor punktet (x
0
, y
0
, z
0
) er indeholdt i linien og vektoren,
a
b
c
, er en
retningsvektor for linjen.
Af (14.2) følger det, at en linjes parameterfremstilling er givet ved:
x
y
z
=
x
0
y
0
z
0
+ t
a
b
c
(14.3)
14.1.2
Kugler
Ved en kugle forst˚
as mængden af et eller flere punkter, der har samme af-
stand fra et punkt – kuglens centrum. Om afstanden mellem to punkter i
R
3
gælder
r
2
= (∆x)
2
+ (∆y)
2
+ (∆z)
2
(14.4)
Kuglens centrum betegner vi (x
0
, y
0
, z
0
). Kuglen med radius r i R
3
er derfor
givet ved følgende mængde,
S
2
=
(x, y, z) ∈ R
3
| r
2
= (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
(14.5)
Eksamensnoter
En kugle i det euklidiske rum kan derfor beskrives ved ligningen,
r
2
= (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
(14.6)
Nu vil vi kigge p˚
a kugler i R
n
. Kuglens centrum skrives som (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Heraf f˚
as for kuglens delmængde af R
n
:
S
n−
1
=
(
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
r
2
=
n
X
i
=1
(x
i
− a
i
)
2
)
= {(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
|
r
2
= (x
1
− a
1
)
2
+ (x
2
− a
2
)
2
+ . . . + (x
n
− a
n
)
2
(14.7)
At sfæren skrives som S
n−
1
betyder, at den kan beskrives med n − 1 koor-
dinater.
Eksempelvis kan en kugle i det tredimensionel rum beskrives med to
koordinater. Og p˚
a himmelkuglen kan alle objekters positioner for eksempel
bestemmes ved angivelse af en rektascension og en deklination.
14.1.3
Planer
Ved en plan i det tredimensionelle rum forst˚
as en uendelig stor og uendelig
tynd flade uden krumning.
I R
3
fastlægges en plan oftest ud fra en normalvektor og et punkt p˚
a
planen. Punktet betegnes P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) og normalvektoren skrives som:
r =
a
b
c
(14.8)
Ethvert punkt, P, i planen m˚
a af ˚
abenlyse ˚
arsager kunne skrives som mæng-
den,
α =
P ∈ R
3
| n · PP
0
= 0
(14.9)
Dette giver for planens ligning:
α: a(x − x
0
) + b(y − y
0
) + c(z − z
0
) = 0
(14.10)
Her har vi givet P koordinaterne (x, y, z). Ved at indføre en størrelse defi-
neret ved, d ≡ −(ax
0
+ by
0
+ cz
0
), kan planens ligning skrives som:
α: ax + by + cz + d = 0
(14.11)
Hvis vi betragter en plan i R
n
kan denne fastlægges ved mængden,
α =
P ∈ R
n
| n · PP
0
= 0
(14.12)
Eksamensnoter
Det skal nævnes, at planen i rummet ogs˚
a kan beskrives ved hjælp af følgende
parameterfremstilling:
α:
x
y
z
=
x
0
y
0
z
0
+ s
p
1
p
2
p
3
+ t
q
1
q
2
q
3
,
s, t ∈ R
(14.13)
hvor
p
1
p
2
p
3
og
q
1
q
2
q
3
er retningsvektorer for planen og (x
0
, y
0
, z
0
) er
indeholdt i planen.
Eksamensnoter
15
Statistik og sandsynlighed
15.1
Gennemsnit og standardafvigelse
15.1.1
Grundlæggende definitioner
For et talsæt med n observationer, X = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
}, defineres 3 vigtige
størrelser som:
hXi ≡ (x
1
+ x
2
+ . . . + x
n
)
1
n
(15.1)
hX
2
i ≡ x
2
1
+ x
2
2
+ . . . + x
2
n
1
n
(15.2)
s ≡
p
hX
2
i − hXi
2
(15.3)
hvor hXi kaldes middelværdien af X, hX
2
i er middelværdien af kvadratet af
X og s er spredningen. hXi og hX
2
i er selvfølgelig m˚
al for den gennemsnitlige
beliggenhed af observationerne, hvorimod s er et m˚
al for den gennemsnitlige
afvigelse pr. observation i forhold til den gennemsnitlige beliggenhed.
15.1.2
Frekvens og Sandsynlighed
Frekvensen for et observationssæt defineres som hyppigheden
, h(x
i
), af en
observation divideret med antallet af observationer:
f (x
i
) ≡
h(x
i
)
n
(15.4)
Frekvensen for en observation, x
i
, i et observationssæt beskriver s˚
aledes
andelen af det totale antal observationer, n, som x
i
udgør. Frekvensen er
s˚
aledes alene baseret p˚
a et empirisk grundlag.
Sandsynligheden, P(X = x
1
), for en observation, x
i
, i et observationssæt
beskriver ligesom frekvensen andelen af det totale antal observationer, som
en given observation udgør. I modsætning til frekvensen defineres sandsyn-
ligheden dog alene ud fra et teoretisk grundlag.
Eksempel 4
(Forskellen p˚
a frekvens og sandsynlighed). Et eksempel p˚
a for-
skellen p˚
a frekvensen og sandsynligheden er et terningkast. Sandsynligheden
for at sl˚
a en 6’er vil altid være
1
/
6
, hvorimod frekvensen sjældent vil være det.
Sl˚
ar man ´en gang med en terning og f˚
ar en 3’er vil frekvensen af f (x
i
= 6)
være 0, men P(X = 6) vil selvfølgelig stadig være
1
/
6
.
N˚
ar man udfører et eksperiment tilpas mange gange – man forstørrer herved
n for observationssættet – vil frekvensen nærme sig sandsynligheden. For at
tage eksemplet fra før; sl˚
ar man 6 millioner gange med en terning, vil antallet
af 6’ere ligge tæt p˚
a 1 million.
2
Hyppigheden er antallet af gange, som en observation optræder i et observationssæt.
Eksamensnoter
Umiddelbart er det svært, at definere sandsynligheden, P, for et givent
udfald. En intuitivt nærliggende m˚
ade ville være følgende:
P(X = x
i
) ≡ lim
n→∞
h(x
i
)
n
(15.5)
Man kan dog ikke uden videre definere dette. For det første skal det vi-
ses matematisk, at den givne grænseværdi overhovedet eksisterer og for det
andet, vil det i praksis være umuligt at bestemme sandsynligheden for et
givent udfald, da det ville være nødvendigt, at gentage et eksperiment u-
endeligt mange gange. Og hvis man ikke kan bestemme en sandsynlighed
nøjagtigt, vil det være nødvendig at opstille modeller for usikkerheden af
ens sandsynlighed, og denne usikkerhed ville derfor blive videreført i alle
beregninger, hvori sandsynligheden indg˚
ar. Men selvom den givne definition
ikke bruges er den alligevel taget med i nærværende tekst, da den intuitivt
giver et meget godt billede af, hvad sandsynlighed er.
N˚
ar man skal tillæge et udfald en sandsynlighed, giver man begivenheden
en sandsynlighed alene ud fra et teoretisk grundlag. Sandsynligheden er
s˚
aledes et m˚
al for, hvilken tiltro man tillægger et udfald. Dette er smart,
idet man s˚
a kan tildele begivenheder sandsynligheder, selvom de aldrig er
sket. At gøre noget s˚
adant ville være totalt umuligt ved anvendelse af (15.5),
idet n s˚
a ville være 0.
15.2
Exceptionelle udfald
15.2.1
Normale udfald, gr˚
azoner og excepptionelle udfald
Et exceptionelt udfald, x
i
, er defineret ved følgende:
x
i
er exceptionel
⇐⇒
|x
i
− hxi| > n · s,
n ∈ R
+
(15.6)
Om andelen af exceptionelle udfald gælder s˚
a:
ǫ ≤
1
n
2
(15.7)
Man kan s˚
a altid bestemme n s˚
a den ønskede andel af observationerne er
exceptionelle. Oftest sættes n til at være 2, hvilket gør at 25% af udfaldene
er exceptionelle.
Ofte ønsker man ogs˚
a at have en gr˚
azone, der markerer, at et udfald
hverken er exceptionelt eller normalt. Et eksempel p˚
a hvordan man kan de-
finere normale udfald, udfald i gr˚
azoner og exceptionelle udfald ses her:
x
i
er exceptionel
x
i
er i en gr˚
azone
x
i
er normal
|x
i
− hxi| > 3s
|x
i
− hxi| > 2s
|x
i
− hxi| ≤ 2s
Eksamensnoter
15.2.2
Fejltyper
N˚
ar man behandler statistiske udfald kan det være svært, at afgøre om en
afvigelse skyldes statistiske tilfældigheder, eller om der rent faktisk er en
tendens i observationssættet, som udfaldene stammer fra.
Til at belyse s˚
adanne fejl en smule vil jeg omtale fejltyper af type I og
type II. Men først vil jeg dog introducere, hvad en nulhypotese er.
Nulhypotesen
Inden man kan sige noget om, hvorvidt en fejl er af type
I eller type II, skal man opsætte en hypotese, H
0
, som enten kan være sand
eller falsk. Hvis man ud fra en m˚
aling afgør, at H
0
er falsk, accepteres en
anden hypotese, H
1
, s˚
aledes, at denne er sand. Hvis man derimod siger, at
H
0
er sand, bortkastes hypotesen H
1
.
Man kan s˚
aledes ikke tage stilling til begge hypoteser. Man kan kun kigge
p˚
a, om H
0
er sand/falsk, og derudfra er det afgjort hvad H
1
er (Dvs., om
den er sand eller falsk).
Eksempel 5
(En nulhypotese). Jeg vil nu betragte en situation, hvor man
skal afgøre om et ny-fremstillet lægemiddel er bedre end et gammelt læge-
middel. En nulhypotese kunne da være:
H
0
: Det nye lægemiddel er bedre end det gamle.
H
1
ville s˚
a se s˚
aledes ud:
H
1
: Det gamle lægemiddel er lige s˚
a godt eller bedre end det nye.
Hvis H
0
er sand vil man vælge, at anvende det nye lægemiddel, og hvis H
0
er falsk, vil man anvende det gamle lægemiddel, da man kender dets virkning
bedre, idet det er blevet anvendt længde. En vigtig pointe er, at man aldrig
direkte tager stilling til H
1
, men kun afgør sandheden af H
1
ud fra, hvad
man konkluderer om H
0
.
Fejl af type I og type II
N˚
ar man skal afgøre om ens nulhypotese er sand
eller falsk, kan man lave to forskellige fejl. Man kan acceptere nulhypotesen,
selvom den rent faktisk er falsk (Fejl af type II), og man kan bortkaste ens
nulhypotese, selvom den er sand (Fejl af type I). Dette kaldes henholdsvis
for fejl af type II og type I. Der gælder alts˚
a:
• Ved fejl af type I bortkastes nulhypotesen, selvom denne er rigtig.
• Ved fejl af type II accepteres nulhypotesen, selvom denne er forkert.
Hvis man afprøver om ens hypotese er sand og f˚
ar et exceptionelt (d˚
arligt)
udfald, vil man bortkaste ens hypotese. N˚
ar man bortkaster en hypotese
pga. af et exceptionelt udfald, er der s˚
aledes risiko for at beg˚
a fejl af type
Eksamensnoter
I. For at nedsætte risikoen for s˚
adanne fejl kan man formindske den andel
af udfald, som er exceptionelle. Dette vil dog forstørre risikoen for at beg˚
a
fejl af type II, idet man s˚
a vil kunne komme til at acceptere sin nulhypose,
selvom denne er forkert.
Eksempel 6
(Valg af medicin). Jeg vil nu se lidt mere p˚
a nulhypotesen fra
eksempel 5. N˚
ar man skal vælge medicin, vil man typisk være helt sikker p˚
a,
at den medicin man bruger ikke har nogle ukendte bivirkninger, og at den
desuden er forholdsvis effektiv.
Man vil s˚
aledes undg˚
a fejl af type II, s˚
a man ikke kommer til at vælge
den nye medicin, alene p˚
a baggrund af den statistiske usikkerhed, der er ved
enkelte udfald i forhold til hele observationssættet.
Eksempel 7
(Terningekaster). En terningekaster p˚
ast˚
ar, at han har over-
naturlige evner til at sl˚
a 6’ere. En statistiker vil undersøge, om dette er
sandt, og opstiller nul-hypotesen;
H
0
: Terningekasteren har overnaturlige evner
N˚
ar man skal afgøre, om H
0
er sand, skal man p˚
a den ene side undg˚
a fejl
af type I, s˚
a man ikke kommer til at give terningekasteren urimelige vilk˚
ar,
men p˚
a den anden side skal man ogs˚
a undg˚
a fejl af type II, s˚
a man ikke
konkluderer, at han har overnaturlige evner alene p˚
a baggrund af empiriske
usikkerheder.
15.3
Endeligt sandsynlighedsfelt
Ved et endeligt sandsynlighedsfelt forst˚
as en endelig mængde U og en funk-
tion P med U = {u
1
, u
2
, . . . , u
n
}, som definitionsmængde, og som opfylder
a:
0 ≤P(u
i
) ≤ 1
(15.8)
b:
n
X
i
=1
P(u
i
) = 1 .
(15.9)
En delmængde H af udfaldsrummet U kaldes en hændelse. Sandsynligheden,
P, for hændelsen er givet ved summen af sandsynlighederne for udfaldene.
Et sandsynlighedsfelt er symmetrisk, hvis sandsynlighederne for alle ud-
faldene i et udfaldsrum er ækvivalente.
Eksempel 8
(Et symmetrisk udfaldsrum). Et symmetrisk udfaldsrum kan
man for eksempel finde ved at betragte en terning. Sandsynligheden for at
sl˚
a 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 er
1
/
6
og sandsynligheden for at f˚
a en af disse 6 i et
kast er netop 1.
Eksamensnoter
Nu betragtes to hændelser A og B i et udfaldsrum U. Følgende gælder
da
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(15.10)
P(A\B) = P(A) − P(A ∩ B)
(15.11)
P(A) = 1 − P(A)
(15.12)
hvor P(A ∪ B) er sandsynligheden for at A eller B sker, P(A\B) er sand-
synligheden for at A sker og B ikke sker og P(A) er sandsynligheden for, at
A ikke sker.
15.4
Binomialfordelinger
15.4.1
Binomialkoefficienten
Ofte er det nyttigt at vide, hvor mange forskellige uordnede q-mængder
man kan lave ud af en n-mængde
. Det kan vises, at dette antal er lig
binomialkoefficienten, der defineres ved
n
q
=
n!
q!(n − q)!
.
(15.13)
15.4.2
Stokastiske variabler
Stokastiske variabler kan bruges til at beskrive stokastiske eksperimenter;
alts˚
a eksperimenter, der har en given sandsynlighed for at give forskellige
udfald. Der er s˚
aledes tale om endelige sandsynlighedsfelter, hvorfor (15.8)
og (15.9) m˚
a være opfyldt.
Der findes to slags stokastiske variabler, nemlig kontinuerte stokastiske
variabler og diskrete stokastiske variabler. En kontinuert stokastisk variabel
kan tage alle værdier i et givet interval (Det kunne for eksempel være alle
x ∈ R), og man vil derudfra kunne lave en kontinuert sandsynlighedsfunktion
for den kontinuerte stokastiske variabel.
Diskrete stokastiske variabler kan i modsætning til kontinuerte stokasti-
ske variabler ikke beskrives ved kontinuerte sandsynlighedsfunktioner, idet
diskrete variabler kun kan antage et tælleligt antal værdier {a
1
, a
2
, . . .}.
15.4.3
Binomialfordelinger
Ved en binomialfordeling betragtes et basiseksperiment, som kan have hæn-
delserne,
H og H .
3
Dvs., en mængde med q elementer
4
Dvs., en mængde med n elementer.
Eksamensnoter
Sandsynligheden for at H indtræffer kaldes p eller evt. P(H) og sandsynlig-
heden for at
H indtræffer er derfor 1 − p ifølge (15.9). Normalt siger man, at
hændelsen H er en succes og den komplementære hændelse H er en fiasko.
Hvis man udfører et eksperiment, hvor de netop opskrevne betingelser
gælder, og hvert eksperiment er uafhængigt af, hvad der er sket i de andre
eksperimenter, har vi en binomialfordelt stokastisk variabel.
Indskud 1
(Uafhængige Hændelser). Om to uafhængige hændelser, A og
B, gælder
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
(15.14)
Eksempler p˚
a to hændelser, der er uafhængige af hverandre, er udfaldet af
to kast med en terning.
En binomialfordelt stokastisk variabel opfylder, at sandsynligheden for,
at der kommer r succeser ved at gentage eksperimentet n gange, er givet
ved,
P(X = r) =
n
r
· p
r
· (1 − p)
n−r
(15.15)
hvor p er sandsynligheden for succes, og X er den binomialfordelte stokasti-
ske variabel.
Det skal bemærkes, at man ved en succes tillægger den stokastiske vari-
abel værdien, 1, og ved fiasko værdien 0.
Middelværdien for den stokastiske variabel X er givet ved,
hXi = n · p .
(15.16)
Og spredningen ved
s =
p
n · p · (1 − p) .
(15.17)
Eksempel 9
(Anvendelse af binomialfordelingen). I en klasse med 27 elever
er der 11 elever, som aldrig læser lektier; de andre læser hver gang. Til hver
time vælges 5 elever, som skal til tavlen og forklare noget af lektien. Hver
gang en elev vælges sker det ved lodtrækning og den samme elev kan godt
komme op flere gange i løbet af en time. Derfor gælder der, at hver enkelt
udvælgelse er uafhængig af alle tidligere udvælgelser. En stokastisk variabel,
som derfor m˚
a være binormialfordelt, er givet ved:
X Antallet gange en uforberedt kommer til tavlen.
Sandsynligheden for, at der p˚
a en time kommer 3 uforberedte elever til tavlen
vil s˚
aledes være givet ved:
P(X = 3) =
4
3
· (
11
27
)
3
· (
16
27
)
1
≈ 0.16028872
Eksamensnoter
Sandsynligheden for at der bliver tage netop 3 er s˚
aledes 16.0 %. Middel-
værdien af X kan ogs˚
a bestemmes:
hXi = n · p = 4 ·
11
27
≈ 1.629630
Der vil s˚
aledes gennemsnitligt blive taget 1.63 personer, der ikke har forberedt
sig til tavlen.
Spredningen findes:
s =
p
n · p(1 − p) =
r
4 ·
11
27
(1 −
11
27
) ≈ 0.982704
Spredningen er s˚
aledes 0.983. Ved at anvende de normale definitioner for,
hvad et exceptionelt udfald er, kan det omr˚
ade findes, hvori udfaldene ikke
er exceptionelle:
x
i
= hXi ± 2 · s = 1.629630 ± 2 · 0.982704 ≈ 1.63 ± 1.97
Her repræsenterer x
i
et normalt udfald, der s˚
aledes ikke er exceptionelt.