Matematik A - 18.05.2017

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

På figur 1 ses en skitse af graferne for de tre lineære funktioner:

\[\begin{aligned} &f(x)=x+2\\ &g(x)=-x+2\\ &h(x)=2 \end{aligned}\]

Redegør for hvilke af graferne A, B og C som hører til hvilke af de tre lineære funktioner.

Opgave 2

To vektorer \( {a}\) og \( {b}\) befinder sig i planen og er givet ved:

\[\begin{aligned} {a} = \begin{bmatrix}5\\-1\end{bmatrix} \qquad {b} = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Bestem arealet af det parallelogram som bliver udspændt af de 2 vektorer

Opgave 3

En funktion f er givet ved:

\[\begin{aligned} f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2-2x+5 \end{aligned}\]

Bestem monotoniforholdene for funktionen

Opgave 4

Reducer de 2 udtryk:

\[\begin{aligned} 2a^2+&4ab-2(a+b)^2 \\ &\frac{2x^2+4x}{2x+4} \end{aligned}\]

Opgave 5

Funktionen

\[\begin{aligned} P(x) = ax^2 + bx + 6 \end{aligned}\]

har en parabel som graf, som vist på figur 2, og går igennem punkterne (1,0) og (3,0).

Bestem konstanterne a og b.

Opgave 6

Bestem integralet:

\[\begin{aligned} \int_0^1 \frac{3 x^2}{x^3+1} \; \text{dx} \end{aligned}\]

Del 2 - Med hjælpemidler

Opgave 7

Når en kugle rammer et lag sand laver det et nedslagskrater som kan antages at have form som en halvkugle. Ved gentagne målninger er man nået frem til følgende sammenhængende værdier af højden som kuglen bliver tabt fra, og nedslagskraterets radius:

Sammenhængen mellem højden og kraterradius kan beskrives ved funktionen:

\[f(x) = b \cdot x^a\]

Hvor at f(x) betegner kraterradiusen målt i mm.

a)

Bestem tallene a og b ud fra tabellens data.

b)

Benyt funktionen til at bestemme højden som kuglen skal tabes fra, for at nedslagskrateret har en radius på 56 mm

c)

Bestem hvor mange procent nedslagskraterets radius øges med når højden øges med 30 %

Opgave 8

funktionen \(f(x)\) er givet ved:

\[f(x) = 2x^3-2x^2-6x+6\]

a)

Tegn grafen for \(f(x)\) og bestem koordinatsættet til funktionens nulpunkter.

b)

Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet \({P(4,f(4))}\).

Opgave 9

Det oplyses at trekant ABC har et areal på 30 samt at |AB|=8, |AC|=11 og \(\angle A\) er spids.

a)

Bestem \(\angle A\).

b)

Bestem omkredsen af trekant ABC.

Opgave 10

I 2 tilfældige søer af samme størrelse er der blevet observeret 2 arter af ænder. Man vil gerne undersøge om artsfordelingen af de 2 arter af ænder er uafhængig af valget af sø. Man har fundet frem til følgende data for de 2 søer:

a)

Opstil en nulhypotese som kan benyttes til at teste om der uafhængighed mellem artsfordelingen af ænder og valget af sø. Benyt en statistisk test til at afgøre om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau.

Opgave 11

På figur 3 ses en flade indtegnet i et koordinatsystem med enheden dm på akserne. Opgivet er punkterne A, B og O:

\[\begin{aligned} A(15,0,26) \qquad B(1,12,26) \qquad O(0,0,0) \end{aligned}\]

a)

Bestem arealet af fladen OAB

b)

Bestem en parameterfremstilling for den linje l der går igennem punkterne O og A.

c)

Bestem den spidse vinkel mellem l og xy-planen.

Opgave 12

Temperaturen i et akvarium der bliver opvarmet kan som funktion af tiden beskrives ved en differentialligningsmodellen:

\[\begin{aligned} \frac{dT}{dx}=1.45-0.272 \cdot(T - 21) \end{aligned}\]

Hvor at T(x) betegner temperaturen til tiden x, målt i timer efter påbegyndt opvarmning. Temperaturen til tiden x=0 er 21 C\(^o\).

a)

Bestem temperaturens væksthastighed, når temperaturen er 24 C\(^o\)

b)

En sart type fisk tåler ikke temperaturer under 26 C\(^\circ\). Benyt modellen til at bestemme hvor lang tid der går før det er sikkert at slippe fisken løs i akvariet fra opvarmningen er påbegyndt.

Opgave 13

To funktioner f og g er givet ved

\[\begin{aligned} &f(x) = 3 \cdot 0.6^x \\ &g(x) = 5 \end{aligned}\]

De 2 grafer afgrænser sammen med y-aksen et areal M i anden kvadrant som det ses illustreret på figur 4.

a)

Bestem arealet af M.

I første kvadrant afgrænser f(x) sammen med linjen x=k og x-aksen et areal N.

b)

Bestem k således at N og M bliver lige store.

Opgave 14

Det samlede antal af vegetarer i verden steg fra 821 mio. i 1970 til 1067 mio. i 2002. Det antages at væksten er eksponentiel.

a)

Opskriv vha. passende variabler en funktion f der beskriver udviklingen i antallet af vegetarer efter 1970.

b)

Verdens befolkningstal kan beskrives ved det matematiske udtryk

\[N(t) = \frac{13100}{1+1.8 \cdot\text{e}^{-0.031t}}\]

Hvor at N(t) angiver verdens befolkningstal efter 1970 målt i mio. mennesker

Benyt udtrykket for befolkningstallet og formlen for antallet af vegetarer til at bestemme en forskrift for funktionen g(t), der angiver andelen af vegetarer på verdensplan og bestem til hvilket tidspunkt at denne andel er mindst.

Opgave 15

Figur 5 viser en konfiguration af trekanter som kan bruges til at afgøre om længden af 2 linjestykker opfylder det gyldne forhold: \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx1.62\). Hele konfigurationen er bestemt af vinkel C. Det oplyses at

\[\begin{aligned} |AC|=|CF|=384 \, \text{mm}\\ |AB|=|BG|=|DF|=236 \, \text{mm}\\ \angle ACF = \angle ABG = \angle EDF \end{aligned}\]

a)

Bestem \(|AF|\) og \(|AG|\) når \(\angle C = 33^\circ\) og sammenlign forholdet \(\frac{|AF|}{|AG|}\) med det gyldne forhold.

b)

Redegør for at forholdet \(\frac{|AF|}{|AG|}\) er uafhængig af \(\angle C\).