Matematik A - 21.05.2019 studentereksamen

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

Løs ligningssystemet

\[\begin{aligned} 2x-y=3\\ 2y-x=12 \end{aligned}\]

Opgave 2

I et koordinatsystem i planen er der givet 2 vektorer \( {a}\) og \( {b}\):

\[ {a}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\qquad {b} = \begin{bmatrix}-3\\2+t\end{bmatrix}\]

Bestem tallet \(t\) så de 2 vektorer er ortogonale.

Opgave 3

Udviklingen i prisen for en bestemt vare kan beskrives ved modellen

\[P(t) = 64000 \cdot 0.99^t\]

Hvor at \(P(t)\) betegner prisen af varen målt i kr. til tidspunktet \(t\), målt i antal år efter 2010.

Gør rede for betydningen af konstanterne \(64000\) og \(0.99\) i modellen.

Opgave 4

Funktionen \(f\) er bestemt ved

\[f(x) = \frac{2}{x} +2x\]

Bestem en forskrift for den stamfunktion til \(f\), hvis graf går igennem punktet \(P(1,5)\).

Opgave 5

Undersøg om funktionen \(f(x)=2 x^2 \cdot\text{e}^x\) er en løsning til differentialligningen

\[\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \cdot 2y(x)\]

Opgave 6

To funktioner \(f\) og \(g\) er givet ved

\[\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{2}x^2+2 k x\\ g(x)=\frac{1}{2}x+2k \end{aligned}\]

Bestem tallet \(k\) så de 2 grafer skærer hinanden præcis èn gang.

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

I et koordinatsystem i planen er to vektorer \( {a}\) og \( {b}\) givet ved

\[ {a}=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix} \qquad {b} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\]

a)

Bestem arealet af den trekant som de to vektorer udspænder.

b)

Bestem projektionen af \( {a}\) på \( {b}\).

Opgave 8

Det oplyses om trekant \(ABC\) at \(\angle A=50\degree\), \(|AC| = 4\) og \(|AB|=6\).

a)

Bestem omkredsen af trekant \(ABC\)

b)

Et punkt \(D\), er placeret mellem punkt \(A\) og \(C\) på siden \(AC\) således at \(|BD|=5\)

Bestem forholdet mellem arealet af trekant \(ABD\) og trekant \(BCD\).

Opgave 9

Figuren viser et cirkeludsnit med en radius på 15 cm og en centervinkel på 110

a)

Vis at arealet af cirkeludsnittet er 216 cm\(^2\).

b)

Kanten af cirkeludsnittet har en brun farve, hvis bredde betegnes med \(x\)

Gør rede for at arealet af af den brune kant er givet ved:

\[\begin{aligned} A=\frac{11}{36}\pi \cdot(30-x) \cdot x, \quad 0<x<15 \end{aligned}\]

c)

Bestem \(x\) så arealet af den brune kant er 85 cm\(^2\).

Opgave 10

I en model kan iltkoncentrationen i et koralrev beskrives ved forskriften

\[C(t) = 220 \cdot\sin(0.255t-2.81)+280 \quad 0 \leq t \leq 24\]

Hvor at \(C(t)\) betegner iltkoncentrationen til tidspunkt \(t\), målt i timer efter midnat.

a)

Forklar hvad tallet 220 betyder for iltkoncentraionen.

b)

Bestem til hvilket tidspunkt at iltkoncentrationen er størst.

Opgave 11

På figuren ses graferne for de 2 funktioner

\[\begin{aligned} f(x)=(6-x) \cdot 2x\\ g(x) = 3 \cdot f(x) \end{aligned}\]

De 2 funktioner afgrænser tilsammen en punktmængde der har et areal \(M\).

a)

Bestem arealet af \(M\)

b)

Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme der fremkommer når punktmængden \(M\) drejes 360om førsteaksen.

Opgave 12

Ved en sø har en 3. klasse optalt fordelingen af 4 forskellige slags tudser, som er kategoriseret ved deres udseende. 3. klassen fandt følgende:

Tudserne bliver spist af hejrerne der bor omkring søen. 3. klassen optalte også hejrernes fangst af tudserne og fandt følgende fordeling:

3. klassen opstillede nulhypotesen:

a)

Bestem stikprøvens forventede værdier, givet at 3. klassens nulhypotese er sand.

b)

Benyt en statistisk test til at afgøre på et 5% signifikansniveau om nulhypotesen kan forkastes.

Opgave 13

Funktionen \(f\) er bestemt ved

\[f(x) = 2x+\frac{2x}{x^2+1}\]

og linjen \(l\) er bestemt ved

\[y=2x-4\]

Grafen for \(f\) har to tangenter der er parallele med linjen \(l\).

a)

Bestem førstekoordinaten til de 2 tangenters røringspunkter med grafen for \(f\).

b)

Redegør for at \(f\) er en voksende funktion.

Opgave 14

I tivoli har man lavet et trykreguleret springvand sådan så trykket i springvandets vandrør afgør hvornår at springvandet vil gå i "udbrud".

I en model for springvandet kan udviklingen i trykket i vandrørene mellem hvert udbrud beskrives ved differentialligningen:

\[\frac{dP }{dt}=0.191 \cdot(11-P(t))\]

Her betegner \(P(t)\) trykket målt i atmosfære (1 atmosfære = 1.013 bar) til tiden \(t\) som er målt i antal minutter efter springvandet sidst har været i udbrud.

a)

Bestem trykkets væksthastighed når trykket i vandrørene er 5 atmosfærer.

b)

Når trykket i vandrørene er oppe på 10 atmosfærer vil springvandet gå i udbrud. Det oplyses også at trykket i vandrørene til tidspunktet \(t=0\) er 3 atmosfærer.

Benyt modellen til at bestemme hvor lang tid der går mellem springvandets udbrud.

Opgave 15

I et koordinatsystem i rummet er planen \(\alpha\) bestemt ved ligningen

\[4x+4y-2z-8=0\]

a)

Gør rede for at punktet \(P(-1,4,2)\) ligger i planet.

b)

Der findes to kugler med radius 5 og som har planen \(\alpha\) som tangentplan i punktet \(P\).

Bestem en ligning for én af disse kugler.