Matematik A - 24.05.2016 - Løsningsforslag

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

Da trekanterne er retvinklede og ensvinklede, betyder det at der gælder de samme forhold mellem de indbyrdes sider. For at finde \(|EF|\), kan vi altså finde forholdet mellem \(|AF|\) og \(|AC|\) og derefter gange \(|BC|\) med dette forhold:

\[\begin{aligned} \frac{|AF|}{|AC|} &=\frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot|CB|\\ &= \frac{1}{2} \cdot 8 = \underline{\underline{4}} \end{aligned}\]

Altså er \(|EF| = \underline{\underline{4}}\).

For at bestemme \(|AB|\) kan vi anvende pythagoras på trekant \(ABC\):

\[\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{|AC|^2 + |CB|^2}\\ &=\sqrt{6^2+8^2}\\ &=\sqrt{100}\\ &=\underline{\underline{10}} \end{aligned}\]

Altså er \(|AB| = \underline{\underline{10}}\)

Opgave 2

For at løse ligningssytemet (altså bestemme værdierne af \(x\) og \(y\))

\[\begin{aligned} 2x + 3 y -22=0\\ 3x-y+22=0 \end{aligned}\]

Isolére vi først \(y\) i den nederste ligning ved at lægge \(y\) til på begge sider af lighedstegnet:

\[\begin{aligned} 3x-y+22 +y=y\\ \Rightarrow y= 3x+22 \end{aligned}\]

Denne ligning for \(y\) sætter vi nu ind i den øverste ligning for derefter at kunne isolere \(x\)

\[\begin{aligned} 0&=2x + 3 \cdot(3x + 22) -22\\ &=2x + 9x + 66 -22\\ &=11x+44 \end{aligned}\]

trækker 44 fra på begge sider og dividere med 11:

\[\begin{aligned} \frac{11x + 44 - 44}{11} = -\frac{44}{11}\\ \frac{11x}{11}=-\frac{44}{11} \Rightarrow x =- 4 \end{aligned}\]

Vi sætter nu denne \(x\) værdi ind i den værdi vi fandt for \(y\) da vi isolerede første gang:

\[\begin{aligned} y=3 \cdot(-4)+22 = 10 \end{aligned}\]

Altså er værdierne bestemt til at være \(x=\underline{\underline{-4}}\) og \(y=\underline{\underline{10}}\).

Opgave 3

Tangenten der går igennem punktet P må stå på formen \(y = ax + b\) da det er en ret linje. Vi skal altså bestemme \(a\) og \(b\). Da vi har fået opgivet en differentialligning som funktionen \(f\) opfylder, beskriver differentialligningen altså hældningen af funktionen \(f\), dvs. vores \(a\)-værdi. Ved at sætte punktet \(P\) ind i differentialligningen finder vi altså vores \(a\)-værdi for tangenten der går igennem punktet \(P\):

\[\begin{aligned} a&=2 \cdot 3 \cdot(6-2)\\ &=24 \end{aligned}\]

\(b\)-værdien kan nu findes ved at indsætte punktet \(P\) i tangentens ligning og derefter isolére \(b\):

\[\begin{aligned} 3 &= 24 \cdot 6 + b\\ &=144 + b\\ \Rightarrow b &= 3-144\\ &=-141 \end{aligned}\]

ligningen for tangenten der går igennem grafen \(f\) i punktet \(P\) er altså givet ved \(\underline{\underline{y = 24 x -141}}\)

Opgave 4

Den eksponentielle funktion står på formen \(f(x) = b \cdot a^x\). \(b\) er givet som funktionens startværdi, i dette tilfælde er \(b=4523\). \(a\) værdien kan findes ved at trække den årlige procentvise fald i antallet af tigere fra 1:

\[a = 1-0.35 = 0.65\]

Funktionen bliver altså \(\underline{\underline{f(x) = 4523 \cdot 0.65^x}}\) som beskriver tigerpopulationen efter år 2000.

Opgave 5

Vi skal undersøge om funktionen \(f\) er en stamfunktion til funktionen \(g\). Vi har to muligheder for at undersøge dette. (1) Vi differentire \(f\) og ser om vi får \(g\), eller (2) vi integrere \(g\) og ser om vi får \(f\). Vi anvender metode 1 som giver os:

\[\begin{aligned} f(x) &= 3x \cdot ln(x) + 2ln(x)\\ \Rightarrow \frac{df}{dx} &= 3 ln(x) + 3 + \frac{2}{x} \end{aligned}\]

Her er produktet \(3x \cdot\ln(x)\) differentieret ved produktreglen. Vi kan altså konkludere at \(\frac{df}{dx}\neq g(x)\) og \(f(x)\) er altså ikke en stamfunktion til \(g(x)\).

Opgave 6

Ud fra monotoniskemaet og betingelserne \(f(0)=5\) og \(f(20)=2\) kan vi skitsere en graf der går igennem punkterne \((0,5)\) og \((20,2)\) , er voksende i de oplyste intervaller fra monotoniskemaet samt har hældningen \(0\) i \(x=3\) og \(x=15\):

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

a)

Vi genkender funktionen som at være eksponentiel og skal derfor anvende eksponentiel regression i maple for at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\):

Vi har nu bestemt konstanterne til at være \(a=\underline{\underline{2.16}}\) og \(b=\underline{\underline{0.48}}\).

b)

For at bestemme omsætningen i år 2009 skal vi bestemme \(f(4)\):

\[f(4) = 0.48276 \cdot 2.1589^4 = \underline{\underline{10.49}}\]

For at bestemme vækstraten \(r\) pr. år har vi at \(r=(a-1) \cdot 100\%\):

\[r=(2.1589-1) \cdot 100 \% = 115.8log9 \%\]

Vi har altså at \(f(4)=\underline{\underline{10.49}}\) og vækstraten pr. år er \(r=\underline{\underline{115.9\%}}\).

c)

For at finde ud af hvornår omsætningen er fordoblet skal vi bestemme fordoblingskonstanten:

\[\begin{aligned} T_2 &= \frac{\log(2)}{\log(a)}\\ &=\frac{\log(2)}{\log(2.1589)}\\ &=\underline{\underline{0.9}} \end{aligned}\]

der går altså \(\underline{\underline{0.9}}\) år før at omsætningen er fordoblet.

Opgave 8

a)

For at bestemme vinklen v udnytter vi at de 12 ligebenede trekanter må have den samme vinkel v og at de tilsammen må give 360. Altså:

\[\begin{aligned} 12 \cdot v &= 360°\\ \Rightarrow v &= \frac{360° }{12}\\ &=\underline{\underline{30° }} \end{aligned}\]

Altså er \(v=\underline{\underline{30°}}\)

b)

Da vi får oplyst at arealet af hele grundfladen er 24 m\(^2\) må hver trekant have et areal svarende til \(\frac{24 \, \text{m}^2}{12}=2 \, \text{m}^2\). De 2 ens sider i trekanten (her kaldet a) kan nu bestemmes ud fra arealformlen:

\[\begin{aligned} 2 \, \text{m}^2 &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot\sin(30)\\ \Rightarrow a&= \sqrt{\frac{4}{\sin(30)}}\\ &=2.83 \end{aligned}\]

Sidelængden \(x\) kan nu findes ud fra cosinusrelationerne:

\[\begin{aligned} x&=\sqrt{ 2.83^2 + 2.83^2-2 \cdot 2.83 \cdot 2.83 \cdot\cos (30)}\\ &=\underline{\underline{1.46}} \end{aligned}\]

Altså er sidelængden \(x=\underline{\underline{1.46}}\) m

Opgave 9

a

Vi skal bestemme nulpunkterne for funktion \(f(x) = 2x^3-7x^2+5x\). Dette gøres ved at løse ligningen \(f(x)=0\) i maple:

Altså har funktionen nulpunkter i \(x=\underline{\underline{0}}\vee \underline{\underline{5/2}}\vee \underline{\underline{1}}\).

b)

For at bestemme monotoniforholdene for funktionen, starter vi med at løse ligningen \(f'(x)=0\), for at finde de steder hvor at hældningen er 0:

Vi finder nu hældningen af funktionen imellem disse to tal og udenom dem, f.eks. i \(x=0,1,2\):

Vi kan nu opskrive monotoniskemaet for funktionen:

c)

Da vi får opgivet ligningen for l og vi får at vide at m er parallel med l, må de to linjer have den samme hældning, altså 85. Derfor må ligningen \(f'(x)=85\) have 2 løsninger, hvoraf den ene er \(x=5\) som tilhører punktet \(P\) og den anden løsning må tilhører punktet \(Q\). Denne ligning kan vi nu løse i maple:

Førstekoordinaten til punktet \(Q\) er altså \(x=\underline{\underline{-\frac{8}{3}}}\).

Opgave 10

a)

[tab:my_label]

Opgivet de observationelle data har vi den totalle sum af eleverne. Vi kan derfor bruge formlen

\[forventede = \frac{vandret \: sum}{sum \: i \: alt} \cdot lodret \: sum\]

Vi får altså for de forskellige kategorier (NV=normalvægtig, OV=overvægtig, HS=har søskende, HIS=har ikke søskende):

\[\begin{aligned} forventede_{NV+HIS}=\frac{sum_{NV}}{sum_{total}} \cdot sum_{HIS}=\frac{371}{669} \cdot 245 \approx 136\\ forventede_{NV+HS}=\frac{sum_{NV}}{sum_{total}} \cdot sum_{HS}=\frac{371}{669} \cdot 424 \approx 235\\ forventede_{OV+HIS}=\frac{sum_{OV}}{sum_{total}} \cdot sum_{HIS} = \frac{298}{669} \cdot 245 \approx 109\\ forventede_{OV+HS} = \frac{sum_{OV}}{sum_{total}} \cdot sum_{HS} = \frac{298}{669} \cdot 424 = 189 \end{aligned}\]

De forventede værdier bliver så:

Vi laver nu en \(\chi^2\) test for at afgøre om vores nulhypotese kan forkastes. Her vises også hvordan de forventede værdier kan regnes i maple:

Da p-værdien ligger over 0.05 kan nulhypotesen altså ikke forkastes.

b)

Ud fra de nye informationer kan vi udfylde en ny tabel over de observerede data :

[tab:my_label]

Vi udfører nu igen en \(\chi^2\) test:

Da vores p-værdi ligger under 0.05 forkastes nulhypotesen nu.

Opgave 11

a)

Vi skal udnytte at arealet af det parallelogram som bliver udspændt af 2 vektorer der ligger i fladen CDE, er det samme som længden af krydsproduktet mellem 2 vektorer i fladen CDE. Da fladen CDE har form som en trekant, må arealet af fladen være halvdelen af længden af dette krydsprodukt.

Vi starter derfor med at finde 2 vektorer der ligger i fladen CDE:

Og finder nu halvdelen af længden af dette krydsprodukt:

Arealet af fladen CDE er altså \(\underline{\underline{1933}}\).

b)

For at bestemme vinklen mellem gulvplanet og fladen CDE, bestemmer vi vinklen mellem normalvektoren til fladen og normalvektoren til xy-planet. Normalvektoren til fladen har vi fra opgave a. Normalvektoren til xy-planet er en vektor som kun peger z-retningen. I hånden findes findes vinklen fra formlen:

\[\begin{aligned} v&=\arccos\left(\frac{{n_{CDE}} \cdot{n_{xy}}}{|{n_{CDE}}| \cdot|{n_{xy}}|} \right)\\ &=\arccos \left( \frac{-2992 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2448 \cdot 1}{\sqrt{(-2992)^2+2448^2} \cdot 1}\right)\\ &=\arccos(0.65)\\ &=50.7° \end{aligned}\]

I maple findes det nemt:

Vinklen mellem xy-planet og fladen CDE er altså \(\underline{\underline{50.71°}}\). Da det ikke bliver specificeret om man skal finde den stumpe eller spidse vinkel vil begge svar være lige gode. Den stumpe vinkel er selvfølgelig bare \(180°-50.71°=129.29°\)

c)

Vi betragter de 2 reb som parameterfremstillinger. For at stille disse parameterfremstillinger op, skal vi bruge et punkt og en retningsvektor. Vi finder altså først vektorene \({AC}\) og \({BD}\):

\[\begin{aligned} {AC}&=\begin{bmatrix}36-44\\136-0\\64-0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\136\\64\end{bmatrix}\\ {BD}&=\begin{bmatrix}36-44\\0-124\\64-0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\-124\\64\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Vi kan nu opstille 2 parameterfremstillinger for de 2 reb:

\[\begin{aligned} l: \quad \begin{bmatrix}44\\0\\0\end{bmatrix} + t \cdot\begin{bmatrix}-8\\136\\64\end{bmatrix}\\ m:\quad \begin{bmatrix}44\\124\\0\end{bmatrix}+s \cdot\begin{bmatrix}-8\\-124\\64\end{bmatrix} \end{aligned}\]

For at 2 reb skal krydse hinanden, skal deres x, y og z koordinater være ens. Vi kan derfor opstille ligningssystemet med de 2 ubekendte t og s:

\[\begin{aligned} 44-8t=44-8s\\ 136t=124-124s\\ 64t=64s \end{aligned}\]

som løses nemmest i maple:

Da vi kun har 2 ubekendte ville det være nok kun at opgive 2 af ligningerne i maple. Vi har nu at \(s=t=\frac{31}{65}\) for at de 2 reb krydser hinanden. Vi sætter disse værdier tilbage ind i én af parameterfremstillingerne:

\[\begin{aligned} m: \quad \begin{bmatrix}44\\124\\0\end{bmatrix}+\frac{31}{65} \cdot\begin{bmatrix}-8\\-124\\64\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}40.185\\64.862\\30.523\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Koordinatsættet til skæringspunktet mellem de 2 reb er altså ca. \(\underline{\underline{(40,65,31)}}\)

Opgave 12

a)

Den opgivne differentialligning betegner hvor hurtigt saltvandskoncentrationen ændrer sig. For at bestemme hastigheden når saltvandskoncentrationen er på 2 mg/liter - altså når \(y(t)=2\) - sætter vi blot \(y(t)=2\) i differentialligningen:

\[-0.02 \cdot 2 = -0.04\]

hastigheden af ændringen i saltvandskoncentrationen når \(y(t)=2\), er altså \(\underline{\underline{-0.04}}\) mg/liter pr. time.

b)

For at bestemme en forskrift for \(y(t)\) løser vi differentialligningen i maple:

Konstanten \(C\) findes ved at bruge betingelsen opgivet i starten af opgave \(y(0)=1.8\):

\[\begin{aligned} y(0)=1.8&=C \cdot\text{e}^{-0/50}\\ &=C \end{aligned}\]

Altså er \(C=1.8\) (da ethvert tal opløftet i 0 giver 1). Forskriften for \(y(t)\) bliver så \(y(t)=1.8 \cdot\text{e}^{t/50}\). \(y(20)\) bestemmes nu:

\[y(20)=1.8 \cdot\text{e}^{20/50}=\underline{\underline{2.69}}\]

Altså er saltvandskoncentrationen til tiden \(t=20\) \(\underline{\underline{2.69}}\) mg/liter.

Opgave 13

a)

grafen tegnes først i maple:

Fra grafen ses det at der er et minimum omkring \(x=3\) og et maksimum omkring \(x=16\). Disse to ekstremumspunkter findes ved at løse ligningen \(f'(x)=0\):

Da vi har grafen for funktionen kan se at der et minimum i \(x\approx 3\) og \(x\approx15\). For at matematisk at tjekke om det er minimum eller maksimum vi har fundet kan vi hurtigt tjekke hældningen af grafen i værdierne \(x=1,10,20\):

Vi har altså nu også tjekket matematisk om det er maksimum eller minimum vi har fundet, og det stemmer heldigvis overens med konklusionen ud fra grafen.

b)

\(f'(8)\) bestemmes:

Da \(f(t)\) betegner temperaturen til tiden \(t\), må \(\frac{df}{dt}\) betegne ændringen i temperatur pr. tid. Altså hvor mange grader temperaturen vokser med i timen til tidspunktet \(t\). \(f'(8)=1.43\) betyder så at temperaturen stiger med 1.43 Ci timen, til tiden \(t=8\) (8 timer efter midnat).

Opgave 14

a)

grafen for \(f(x)\) tegnes i maple:

Og integrallet \(\int_{-6}^6 \, f(x) \, dx\) bestemmes nu:

b)

Vi er opgivet funktion \(g(x)=\sqrt{a^2-x^2}\) som afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde \(M\) der har et areal. For at bestemme den værdi af \(a\) der opfylder at arealet \(M\) er 6, er det ligningen \(\int_{-a}^a \, g(x) \, dx = 6\) der skal være opfyldt, og som løses i maple:

Altså skal \(a\) have værdien \(\underline{\underline{1.95}}\) for at arealet af \(M\) er 6. Kommandoen fsolve bruges her istedet for solve da vi ellers får imaginære løsninger med.