Matematik A - 24.05.2016

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

På figur 1 ses to ensvinklede og retvinklede trekanter.

Bestem \(|EF|\) og \(|AB|\).

Opgave 2

Løs ligningssystemet

\[\begin{aligned} 2x + 3 y -22=0\\ 3x-y+22=0 \end{aligned}\]

Opgave 3

Funktionen \(f\) er løsning til differentialligningen

\[\frac{dy}{dx}=2y \cdot(x-2)\]

Grafen for \(f\) går igennem punktet \(P(6,3)\). Bestem en ligning for tangenten til grafen for \(f\) i punktet \(P\).

Opgave 4

I år 2000 observerede man 4523 tigere i Indien. Herefter faldt det årlige antal af observerede tigere med 35% om året frem til år 2006.

Vha. passende variable, opskriv da en eksponential funktion der kan beskrive antallet af observerede tigere efter år 2000.

Opgave 5

To funktioner \(f\) og \(g\) er givet ved

\[\begin{aligned} f(x)=(3x +2)\cdot ln(x)\\ g(x)=3\cdot ln(x) + \frac{2}{x} \end{aligned}\]

Undersøg om \(f\) er stamfunktion til \(g\).

Opgave 6

For en funktion \(f\) er det oplyst at dens graf opfylder at \[f(0)=5 \quad \text{og} \quad f(20)=2\]

og har monotoniskemaet

[tab:my_label]

Tegn en mulig graf for \(f\).

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

Tabellen viser omsætningen af en stor virksomhed for hvert år i perioden 2005-2008

[tab:my_label]

Udviklingen af omsætning pr. år kan beskrives ved funktionen

\[f(t) = b \cdot a^t\]

hvor at \(f(t)\) betegner den årlige omsætning i mia. kr. og \(t\) betegner antallet af år efter 2005.

a)

Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\).

b)

Benyt funktionen til at bestemme omsætningen i år 2009. Bestem også den årlige vækstrate i omsætningen.

c)

Benyt funktionen til at bestemme hvor lang tid der går før omsætningen er fordoblet.

Opgave 8

[fig:my_label]

Figuren skal forestille at være en model for grundfladen af et cirkustelt. Grundfladen består af 12 ligebenede trekanter, hver med grundlinje x og vinkel v.

a)

Bestem vinklen v.

b)

Grundfladen har et areal på 24m\(^2\).

Bestem sidelængden x.

Opgave 9

Funktionen \(f\) er givet ved

\[f(x) = 2x^3-7x^2+5x\]

a)

Bestem nulpunkterne for \(f\).

b)

Bestem monotoniforholdene for \(f\)

c)

Linjen l med ligningen \(y=85x-325\) tangerer grafen i punktet \(P(5,f(5))\). En anden linje m er parallel med l og tangere grafen i punktet Q.

Bestem førstekoordinaten til punktet Q.

Opgave 10

En stikprøve blandt en folkeskole, er fordelt mellem vægt og om de har søskende eller ej:

[tab:my_label]

Nulhypotesen lyder nu: "vægt og antallet af søskende er uafhængige af hinanden".

a)

Ud fra nulhypotesen, bestem da de forventede værdier. Afgør derefter på 5 % signifikansniveau om nulhypotesen kan forkastes.

b)

Søskende kategorien "Har søskende" kan deles op i to kategorier. Dem der har én søsken og dem der har flere søskende.

Iblandt stikprøven finder man at der er 116 normalvægtige elever med én søsken og 73 overvægtige elever som har flere søskende.

Udfyld en tabel over de observerede data med de nye informationer, og afgør herefter på et 5 % signifikansniveau om nulhypotesen nu kan forkastes.

[tab:my_label]

Opgave 11

[fig:my_label]

Figuren viser en model over en bygning. På figuren er koordinaterne A, B, C, D og E også tegnet ind og er opgivet som:

\[A(44,0,0) \quad B(44,124,0) \quad C(36,136,64) \quad D(36,0,64) \quad E(54,0,86)\]

a)

Benyt figuren og koordinaterne til at bestemme arealet af fladen CDE.

b)

Gulvplanet på modellen er parallel med xy-planet.

Bestem vinklen mellem fladen CDE og gulvplanet.

c)

På fladen ABCD skal der monteres et reb fra A til C og fra B til D.

Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem de 2 reb.

Opgave 12

Udviklingen af saltindholdet i et stort saltvandsakvarium kan beskrives ved differentialligningen

\[\frac{dy}{dt} = -0.02\cdot y(t)\]

Hvor at \(y(t)\) betegner saltvandskoncentrationen og måles i mg/liter til tidspunktet \(t\) målt i timer.

Til tidspunktet\(t=0\) er saltvandskoncentrationen 1.8 mg/liter.

a)

Bestem hastigheden som saltvandskoncentrationen aftager med når saltvandskoncentrationen er på 2 mg/liter

b)

Bestem en forskrift for \(y(t)\) og bestem saltvandskoncentrationen til tidspunktet \(t=20\)

Opgave 13

Et sted ved ækvator hvor temperaturen antages til at være konstant året rundt kan temperaturen af et vilkårlig døgn bestemmes ved funktionen

\[f(t) = 20-5(\sin(0.24t)+\cos(0.24t)), \; 0 \leq t \leq 24\]

Hvor at \(f(t)\) betegner temperaturen målt i C\(^\circ\) til tiden \(t\) målt i timer efter midnat.

a)

Tegn grafen for \(f\) og bestem den højeste og laveste temperatur på døgnet.

b)

Bestem \(f'(8)\) og forklar betydningen af dette tal.

Opgave 14

Funktionen \(f\) er bestemt ved

\[f(x) = \sqrt{6^2-x^2}, \; -6 \leq x \leq 6\]

a)

Tegn grafen for \(f\), og bestem \(\int_{-6}^{6}\, f(x) \, dx\).

b)

Funktionen \(g\) er givet ved

\[g(x) = \sqrt{a^2-x^2}, \; -a \leq x \leq a\]

hvor at \(a\) er positiv.

grafen for \(g\) afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M, der har et areal. Bestem \(a\) så arealet af M er 6.