Matematik A - 25.05.2018 - løsningsforslag

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

Vi finder rødderne til andengradsligningen \(2x^2 + 3x - 9 = 0\):

\[\begin{aligned} x_\pm &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}\\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot(-9)}}{2 \cdot 2}\\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{4}\\ &=\frac{-3}{4} \pm \frac{9}{4}\\ \Rightarrow x&=\frac{3}{\underline{\underline{2}}} \bigvee \underline{\underline{-3}} \end{aligned}\]

Rødderne til andengradspolynomiet er altså \(x = \frac{3}{\underline{\underline{2}}} \bigvee \underline{\underline{-3}}\)

Opgave 2

Da trekanterne ADE og ABC er ensvinklede, starter vi med at finde forholdet mellem de 2 trekanter:

\[\frac{|AB|}{|AD|}=2\]

\(|BC|\) kan vi finde vha. pythagoras:

\[\begin{aligned} |BC| &= \sqrt{20^2-16^2}\\ &=\sqrt{400-256} &=\sqrt{144} = \underline{\underline{12}} \end{aligned}\]

\(|DE|\) findes nu ved at skalere \(|BC|\) med forholdet mellem de 2 trekanter:

\[\begin{aligned} |DE|=\frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = \underline{\underline{6}} \end{aligned}\]

Altså er \(|BC|=\underline{\underline{12}}\) og \(|DE|=\underline{\underline{6}}\).

Opgave 3

På figuren ses de 3 grafer

\[\begin{aligned} f(x)&=2 \cdot 1.2^x\\ g(x) &= 2 \cdot 0.8^x\\ h(x)&=2 \cdot x^{0.5} \end{aligned}\]

Både \(f(x)\) og \(g(x)\) er ekspoentialfunktioner da de er på formen \(b \cdot a^x\), Det ses dog at da \(a<1\) for \(g(x)\) må den være aftagende og tilhører derfor graf A da dette er den eneste aftagende graf. Det ses også at graf B er eksponentiel voksende, og må derfor tilhører funktion \(f(x)\). Yderligere ses det også at for \(x=0\) har vi at \(f(0)=2\) og \(g(0)=2\). De 2 funktioner skal altså have samme værdi i \(x=0\) og man kan derfor udelukke at graf A og B kan hører til \(h(x)\). \(h(x)\) må hører til graf C da der ikke er andre muligheder.

Opgave 4

Vi bruger formlen \(f(t)=b \cdot a^t\) hvor at \(b = 80\) (vores startværdi) og \(a=1-r\). Her er r procentsatsen som det årlige plastikudsmid falder med. Vi har altså:

\[f(t) = 80 \cdot(1-0.017)^t=80 \cdot 0.983^t\]

Hvor at \(f(t)\) betegner den årlige mængde af plastikudsmid målt i mio. tons i perioden 1995-2018.

Opgave 5

Vi differentiere først funktionen (eksponentialfunktionen differentieres som en sammensat funktion):

\[\begin{aligned} f'(x)=\frac{1}{4} \cdot\text{e}^{x/4}-2=\frac{\text{e}^{x/4}-8}{4} \end{aligned}\]

Dette sætter vi nu i differentialligningen:

\[\begin{aligned} \frac{\text{e}^{x/4}-8}{4}&=\frac{2x + \text{e}^{x/4}-2x-8}{4}\\ &=\frac{\text{e}^{x/4}-8}{4} \end{aligned}\]

Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet kan vi konkludere at \(f(x)\) er en løsning til differentialligningen.

Opgave 6

Vi vil her benytte integration ved substitution. Vi vælger vores indre funktion til at være \(t=ln(x)\). Dette medfører at:

\[\begin{aligned} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow dx = x \, dt \end{aligned}\]

Vi sætter nu t og dt ind i integralet:

\[\begin{aligned} \int \frac{4}{x} \cdot t^3 \cdot x \, dt &= \int 4 t^3 \, dt \\ &=\frac{4}{4} \cdot t^4 &=\underline{\underline{ln(x)^4}} \end{aligned}\]

Vi har nu bestemt integrallet til at være \(\underline{\underline{ln(x)^4}}\)

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

a)

Da sammenhængen mellem dybde og lysintensitet kan beskrives ved \(f(x)=b \cdot x^a\), anvender vi potensregression i maple:

[fig:my_label]

Vi får altså \(b=\underline{\underline{4459.5}}\) og \(a=\underline{\underline{-1.9964}}\) (da \(\frac{1}{x^{1.9964}} = x^{-1.9964}\)).

b)

For at bestemme den dybde hvor at lysintensiteten falder til 20 W/m\(^2\), skal vi løse ligningen \(f(x)=20\). Gøres dette i maple fås:

[fig:my_label]

Ved en dybde på 15 m falder lysintensiteten altså til 20 W/m\(^2\)

c)

For at bestemme den procentvise ændring i lysintensiteten når dybden øges med 30 %. bruges formlen

\[\begin{aligned} r_y = ((1+r_x)^a-1) \cdot 100 \% \end{aligned}\]

hvor at \(r_y\) er den procentvise ændring i lysintensiteten og \(r_x\) er den procentviseændring i dybden:

\[\begin{aligned} ((1+0.3)^{-1.9964}-1) \cdot 100 \% = \underline{\underline{-40.77 \%}} \end{aligned}\]

Lysintensiteten falder altså med 40.77 % når dybden øges med 30 %

Opgave 8

De to vektorer \( {a}\) og \( {b}\) i planen er bestemt ved

\[ {a}=\begin{bmatrix}-5\\2\end{bmatrix} \qquad {b} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\]

Linjen l er parallel med \( {a}\) og går igennem punktet \(P(2,4)\).

a)

Her vil vi opskrive linjen l på formen

\[l: \, a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\]

Hvor at \( {r}=\langle a , b\rangle\) er en tværvektor til \( {a}\) og \((x_0,y_0)\) er vores punkt \(P\). For at få en tværvektor til \( {a}\) bytter vi rundt på \( {a}\)’s koordinater og sætter et minus foran første koordinaten:

\[\hat{ {a}}=\begin{bmatrix}-2\\-5\end{bmatrix}\]

Vi kan nu opstille ligningen for l:

\[\begin{aligned} l: \, 0 &= -2 \cdot(x-2)-5 \cdot(y-4)\\ &=-2x+4-5y+20\\ &=\underline{\underline{-2x-5y+24}} \end{aligned}\]

Vi har altså at \(l: \underline{\underline{-2x-5y+24=0}}\,\)

b)

Vi finder projektionen af \( {a}\) på \( {b}\) fra formlen

\[\begin{aligned} {a}_{ {b}}&=\frac{ {a} \cdot {b}}{| {b}|^2} \cdot {b}\\\renewcommand{1}{0.8} &=\frac{-5 \cdot 4+2 \cdot 3}{16+9} \cdot\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\\\renewcommand{1}{0.8} &=-\frac{14}{25} \cdot\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\\\renewcommand{1}{0.8} &= \begin{bmatrix}-\frac{56}{25}\\-\frac{42}{25}\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Alternativt kan man anvende kommandoen ’proj’ i maple:

[fig:my_label]

Opgave 9

a)

For at bestemme \(\angle A\) starter vi med at bestemme \(|AC|\) ved cosinusrelationerne:

\[\begin{aligned} |AC|=\sqrt{50^2+91^2-2 \cdot 50 \cdot 91 \cdot\cos({87})} = 101.5 \end{aligned}\]

Vi kan nu bestemme \(\angle A\) vha. enten sinusrelationer eller cosinusrelationer:

[fig:my_label]

Arealet findes nu:

\[\begin{aligned} T&=\frac{1}{2}|AB||AC|\sin(A)\\ &=\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 101.5 \cdot\sin(63.5) &=\underline{\underline{2271}} \end{aligned}\]

Arealet af trekant \(ABC\) er altså \(T=\underline{\underline{2271}}\)

b)

Ved at tegne medianen fra \(\angle A\) opstår der en ny trekant \(ABD\) som vi kan anvende cosinusrelationer på:

\[\begin{aligned} |AD| &= \sqrt{50^2+45.5^2-2 \cdot 50 \cdot 45.5 \cdot\cos(87)}\\ &=65.8 \end{aligned}\]

Medianen fra A har altså en længde på \(\underline{\underline{65.8}}\).

Opgave 10

a)

Vi kan finde hældningen af tangenten til punktet \(P(0,f(0))\) ved at finde \(f'(0)\). Den afledte findes nemmest i maple:

Og \(f'(0)\) bliver nu så:

\[f'(0)=-\frac{\text{e}^{(-0/10)} \cdot(3 \cdot 0 - 50 \cdot 0 +200)}{10}=-20\]

Vi kan nu indsætte punktet \(P\) samt hældningen \(a\) i den rette linjes ligning for derefter at isolere \(b\):

\[\begin{aligned} f(0) &= -20 \cdot 0 +b\\ \Rightarrow f(0) &= 300= b \end{aligned}\]

Ligningen for den tangenten i punktet \(P\) er altså \(\underline{\underline{y = -20x + 300}}\).

b)

For at bestemme monotoniforholdene for funktionen, starter vi med at løse ligningen \(f'(x)=0\):

[fig:my_label]

Vi finder nu hældningen af funktionen i punkterne \(x=6,7,11\):

[fig:my_label]

Vi kan nu opstille vores monotoniskema:

[tab:my_label]

funktionen er altså aftagende i intervallerne \(]-\infty;20/3]\, \cup \, [10;\infty[\) og voksende i intervallet \([20/3;10]\). Funktionen plottes nu i intervallet \(x=[5;12]\):

[fig:my_label]

Opgave 11

a)

For at finde det tidspunkt hvor funktionen har maksimum, løses ligningen \(c'(x)=0\):

[fig:my_label]

Sukkerkoncentrationen har altså maksimum \(\underline{\underline{1.4}}\) timer efter indtagelse af et måltid

b)

For at finde ud hvor lang tid sukkerkoncentrationen ligger over 140 mg/dl, løses først ligningen \(c(x)=140\):

Vi ved nu altså til hvilke tider at koncentration er på præcis 140 mg/dl. Det interval hvor at koncentrationen ligger over 140 mg/dl, må altså være intervallet der ligger imellem disse 2 tidspunkter. Vi finder derfor forskellen imellem de 2 tidspunkter:

\[2.01-0.816=\underline{\underline{1.2}}\]

Sukkerkoncentrationen ligger altså over 140 mg/dl i \(\underline{\underline{1.2}}\) timer

Opgave 12

a)

Omdrejningslegemet V kan bestemmes ved formlen:

\[\begin{aligned} V &= \pi \cdot\int_0^4f(x)^2\, dx\\ \end{aligned}\]

[fig:my_label]

Vi får altså at \(V= \underline{\underline{19118}}\).

b)

For at bestemme forholdet mellem M og N bestemmer vi først M og N:

\[\begin{aligned} M= \int_0^4 f(x) \, dx = 128\\ N=\int_0^p64 \, dx - \int_0^p f(x) \, dx \end{aligned}\]

p findes ved at løse ligningen \(f(x)=64\), som i maple giver en:

\[\begin{aligned} 2x^3 -12x^2 + 64 = 64 \Rightarrow x = 0 \, \bigvee \, 6 \end{aligned}\]

N kan nu bestemmes:

[fig:my_label]

Forholdet kan endelig bestemmes:

\[\frac{M}{N}=\frac{128}{216} = \frac{16}{27}\]

Opgave 13

a)

Vores nulhypotese er \(H_0\): Der er ingen sammenhæng mellem afkølede hænder og forkølelse.. Hvis nulhypotesen er sand, må der gælde at der er lige mange med afkølede hænder som udviser symptomer som dem med ikke afkølede hænder der viser symptomer på forkølelse (altså halvdelen af de 36 personer der udviser symptomer), og det samme gælder for gruppen der ikke viser symptomer på forkølelse. De forventede værdier bliver derfor:

b)

Med informationen om at 26 af forsøgspersonerne som fik afkølede hænder kan vi opskrive en tabel over de observerede værdier:

Vi kan nu i maple udføre en \(\chi^2\) test ved at opskrive en 2\(\times\)2 matrix over de observerede værdier:

[fig:my_label]

Da p-værdien ligger under 0.05 forkastes nulhypotesen og det kan konkluderes at der er en sammenhæng mellem afkølede hænder og forkølelse.

Opgave 14

a)

Forskriften for \(V\) findes først i maple:

[fig:my_label]

Konstanten C (C = _C1) bestemmes ved grænsebetingelsen om at personen startede med at veje 90 kg. Vi ved altså at \(V(0)=90\):

\[\begin{aligned} V(0) = 90 &= \frac{2500}{50} + \text{e}^{-0/148} \cdot C\\ &=50 + C\\ \Rightarrow C&= 90 - 50 = 40 \end{aligned}\]

Forskriften for en person der vejer 90 kg og har et dagligt kalorieindtag på 2500 kcal er \(\underline{\underline{V(t)=50 + 40\text{e}^{-t/148}}}\).

Efter 35 dage vil personen så veje:

\[\begin{aligned} V(35) &= 50+40 \cdot\text{e}^{-35/148}\\ &=\underline{\underline{81.576 \, \text{kg}}} \end{aligned}\]

b)

Igen starter vi med at løse differentialligningen i maple. Denne her gang har vi defineret startbetingelsen (\(V(0)=110\)) til at starte med så maple selv finder konstanten C:

[fig:my_label]

Vi bruger nu den anden betingelse der er opgivet, \(V(70)=100\), for at bestemme konstanten d:

[fig:my_label]

Konstanten d er altså bestemt til at være \(\underline{\underline{4173}}\) kcal.

Opgave 15

Vi vil her anvende den generelle ligning for et plan:

\[\begin{aligned} \alpha : a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\\ n_\alpha = \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} \qquad P(x_0,y_0,z_0) \end{aligned}\]

Her er \(n_\alpha\) en normalvektor til planet og \(P(x_0,y_0,z_0\) er et punkt i planet. Vi finder en normalvektor til planet ved at tage krydsproduktet af 2 vektorer der ligger i planet. Vi starter derfor med at finde \( {AB}\) og \( {CB}\):

\[\begin{aligned} {AB}=\begin{bmatrix}0\\1\\4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\\0\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\1\\1\end{bmatrix}\\ {CB} = \begin{bmatrix}0\\1\\4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\\6\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\-5\\4\end{bmatrix} \end{aligned}\]

og krydsproduktet findes nu i maple:

[fig:my_label]

Vi kan nu opskrive en ligning for planet ved at bruge vores normalvektor og punktet A:

\[\begin{aligned} \alpha: 0 &= 9 (x-3) + 9 (y-0) + 18(z-3)\\ &=9x - 27 + 9y + 18z - 54\\ &=9x +9y + 18z - 81\\ \Rightarrow 81 &= 9x +9y + 18z \end{aligned}\]

Vi dividere nu igennem med 9:

\[\begin{aligned} \alpha: \frac{81}{9} &= \frac{9x +9y + 18z}{9}\\ 9 &=x + y + 2z \end{aligned}\]

Planet \(\alpha\) er så blevet bestemt til at være \(\underline{\underline{9 = x + y + 2z}}\) som er præcis det vi skulle vise.

b)

For at l skal ligge i planet \(\alpha\), må der gælde at l står vinkelret på normalvektoren for \(\alpha\). Prikproduktet mellem \(n_\alpha\) og retningsvektoren for l skal altså være lig med 0:

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix}-2k\\6k\\2\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}9\\9\\18\end{bmatrix} = 0 &=-2k \cdot 9 + 6k \cdot 9 + 2 \cdot 18\\ &=-18k+54k+36\\ &=36k+36\\ \Rightarrow k&=\underline{\underline{-1}} \end{aligned}\]

k skal altså være lig med \(\underline{\underline{-1}}\) for at l ligger i planet \(\alpha\).

En anden metode er at sætte koordinaterne for l ind i ligningen for \(\alpha\) og derefter løse for k:

\[\begin{aligned} \alpha: 9 = ( \end{aligned}\]