Matematik A - 25.05.2018 - studentereksamen

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

Løs andengradsligningen

\[2x^2 + 3x - 9 = 0\]

Opgave 2

Figur 1 viser to ensvinklede og retvinklede trekanter. Det oplyses at \(|AC|=16\), \(|AB|=20\) og \(|AD|=10\). Bestem \(|BC|\) og \(|DE|\).

Opgave 3

Figur 2 viser 3 grafer \(A, B\) og \(C\) for de tre funktioner

\[\begin{aligned} f(x)&=2 \cdot 1.2^x\\ g(x) &= 2 \cdot 0.8^x\\ h(x)&=2 \cdot x^{0.5} \end{aligned}\]

Redegør for hvilken af graferne \(A, B\) og \(C\) hører til hvilken af funktionerne \(f(x), g(x)\) og \(h(x)\).

Opgave 4

I 1995 blev der smidt 80 mio. tons plastik ud. I perioden 1995-2018 faldt den årlige mængde af plastik udsmid med 1.7 % pr. år. Indfør passende variable og opstil derefter en passende model der beskriver udviklingen af plastik udsmid i perioden 1995-2018.

Opgave 5

Undersøg om funktionen

\[f(x) = \text{e}^{x/4}-2x-8\]

Er en løsning til differentialligningen

\[\frac{dy}{dx}=\frac{2x + y}{4}\]

Opgave 6

Bestem integralet

\[\int \frac{4}{x} \cdot ln(x)^3 \; dx\]

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

I havet falder lysintensiten drastisk når man kommer dybere ned. I et forsøg har man målt følgende sammenhængende værdier mellem havdybde og lysintensiteten.

[tab:my_label]

Sammenhængen mellem dybde og lysintensitet kan beskrives ved modellen

\[f(x) = b \cdot x^a\]

hvor at \(f(x)\) betegner lysintensiteten og \(x\) betegner dybden.

a)

Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\).

b)

Bestem den dybde hvor at lysintensiteten falder til 20 W/m\(^2\).

c)

Benyt modellen til at bestemme hvor mange procent lysintensiteten falder med når dybden øges med 30 %.

Opgave 8

To vektorer \( {a}\) og \( {b}\) befinder sig i planen og er bestemt ved

\[\begin{aligned} {a} = \begin{bmatrix}-5\\2\end{bmatrix}\qquad {b}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix} \end{aligned}\]

Linjen l er parallel med \( {a}\) og går igennem punktet \(P(2,4)\).

a)

Bestem en ligning for l.

b)

Bestem koordinatsættet for projektionen af \( {a}\) på \( {b}\).

Opgave 9

Om trekant \(ABC\) oplyses det at \(a=91\), \(c=50\) og \(\angle B = 87^\circ\)

a)

Bestem \(\angle A\) og bestem arealet af trekant \(ABC\).

b)

Bestem længden af medianen fra \(A\) på siden \(a\).

Opgave 10

Funktionen \(f(x)\) er bestemt ved

\[f(x) = (3x^2+10x+300) \cdot\text{e}^{-x/10}\]

a)

Bestem en ligning for tangenten til grafen for \(f(x)\) i punktet \(P(0,f(0))\).

b)

Bestem monotoniforholdende for \(f(x)\) og tegn grafen for \(f(x)\) i et passende vindue.

Opgave 11

I en model kan udviklingen af sukker i en persons plasma efter indtagelse af et måltid beskrives ved

\[c(x) = \frac{10000x-3000x^2}{200+8^x}+110\]

Hvor at \(c(x)\) betegner sukkerkoncentrationen (målt i mg/dl) til tidspunktet \(x\) (målt i timer efter indtagelse af måltidet).

a)

Benyt modellen til at bestemme det tidspunktet hvor sukkerkoncentrationen er maksimal.

b)

Benyt modellen til at bestemme i hvor lang tid at sukkerkoncentrationen ligger over 140 mg/dl.

Opgave 12

Funktionen \(f\) er bestemt ved

\[f(x) = 2x^3-12x^2+64\]

I første kvadrant afgrænser funktionen sammen med koordinatakserne samt linjen \(y=64\) to punktmængder \(M\) og \(N\) som det ses på figur 4

a)

Bestem volumen, V, af det omdrejningslegeme der fremkommer når \(M\) drejes 360\(^\circ\) omkring x-aksen.

b)

Bestem forholdet mellem arealerne \(M\) og \(N\).

Opgave 13

I en undersøgelse af hvorvidt kolde hænder forårsager forkølelse, udvalgte man 360 forsøgspersoner. Halvdelen fik derefter afkølet deres hænder og den anden halvdel fik ikke sine hænder afkølet. Efterfølgende viste 36 personer symptomer på forkølelse, mens resten ikke viste symptomer.

a)

Opstil en nulhypotese der passer til forsøget, og bestem de forventede værdier.

[tab:my_label]

b)

Det oplyses at 26 af de forsøgspersoner der fik afkølede hænder, viste symptomer på forkølelse.

Undersøg på et 5 % signifikansniveau om nulhypotesen kan forkastes.

Opgave 14

Udviklingen i vægten af en person der er på slankekur beskrives ved en funktion der er løsning til differentialligningen

\[\frac{dV}{dt}=\frac{1}{7400} \cdot(d-50 \cdot V)\]

Hvor at V betegner personens vægt (målt i kg) til tidspunktet t (målt i antal dage efter kurens start) og d er en konstant som betegner personens daglige energiindtag.

a)

Ved kurens start vejer en person 90 kg og har et dagligt energiindtag på 2500 kcal.

Bestem en forskrift for \(V\) og bestem personens vægt 35 dage efter slankekurens start.

b)

En person på samme kur vejer 110 kg ved påbegyndelsen og ønsker at tabe sig 10 kg i løbet af 70 dage.

Benyt modellen til at bestemme hvor stor personens daglige energiindtag skal være for at målet kan opnås.

Opgave 15

Et plan \(\alpha\) er udspændt i rummet af de tre punkter

\[A(3,0,3) \quad B(0,1,4) \quad C(3,6,0)\]

a)

Gør rede for at \(\alpha\) er bestemt ved ligningen \(x+y+2z=9\)

b)

linjen l er bestemt ved parameterfremstillingen

\[l: \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\0\\3\end{bmatrix}+t \cdot\begin{bmatrix}-2k\\6k\\2\end{bmatrix}\]

Bestem k så l ligger i planet \(\alpha\).