Matematik A - studentereksamen

Del 1 - uden hjælpemidler

Opgave 1

Løs andengradsligningen

\[2x^2+4x-6=0\]

Opgave 2

For et koordinatsystem i planet er der givet de 2 vektorer

\[\Vec{a}=\begin{bmatrix}3\\t-1\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}1-t\\2\end{bmatrix}\]

Bestem den værdi af \(t\) der sørger for at de 2 vektorer er ortogonale på hinanden.

Opgave 3

I en population af rotter kan udviklingen i antallet af rotter beskrives ved funktionen

\[N(t)=40 \cdot 1.62^t\]

Hvor at \(N(t)\) betegner antallet af rotter til tidspunktet \(t\), målt i døgn.

Redegør for hvad de 2 konstanter i udtrykket fortæller om udviklingen af rotter.

Opgave 4

Undersøg om funktionen

\[f(x)=\text{e}^x-x^2-2x\]

Er en løsning til differentialligningen

\[\frac{dy}{dx}=y+x^2-2\]

Opgave 5

Funktionen \(f\) er bestemt ved

\[f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}\]

Bestem den stamfunktion til \(f\), hvis graf går gennem punktet \(P(1,2)\).

Opgave 6

Figuren viser grafen for den afledte funktion \(f'(x)\) for funktionen \(f(x)\) i intervallet \([-2;5]\).

Bestem monotoniforholdene for \(f(x)\) i intervallet \([-2;5]\).

Del 2 - med hjælpemidler

Opgave 7

En bestemt type træ vokser meget kraftigt når det er lille og vokser gradvist langsommere og langsommere som det bliver højere og højere. Tabellen viser sammenhæng mellem højden af træet og hvor mange cm træet vokser med pr. år

I en model kan sammenhængen beskrives ved funktionen

\[f(x)=b \cdot x^a\]

Hvor at \(x\) betegner højden af træet (målt i cm) og \(f\) betegner vokseraten (målt i cm pr. år).

a)

Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\) i modellen.

b)

Benyt modellen til at bestemme højden af et træ der vokser med 14 cm pr. år.

c)

Benyt modellen til at bestemme hvor mange procent vokseraten ændre sig med når højden af træet øges med 30%.

Opgave 8

Ud af en flok mennesker har man spurgt hvor mange liter vand hver person drikker om dagen og fundet frem til følgende:

a)

Tegn sumkurven og bestem kvartilsættet.

Opgave 9

Figuren ovenfor viser et tværsnit af et ottekantet hus hvor at nogen af målene for huset er opgivet på tegningen.

a)

Bestem længden af linjstykket s samt vinklen w.

b)

Figuren her viser husets grundflade, der har form som en regulær oktagon.

Bestem arealet af husets grundflade.

Opgave 10

Figuren viser en pyramideformet figur som skal bygges på en skråning. Indtegnet på figuren er planet \(\alpha\) som er en del af bundfladen af pyramiden udspændt af punkterne A, B, C og D. \(\alpha\) har ligningen

\[2x+6z+40=0\]

og der er opgivet punkterne

\[T(0,0,40), \quad F(40,40,0), \quad C(-40,40,0), \quad D(-40,-40,0)\]

Indtegnet på figuren med blåt er også xy-planet.

a)

Bestem afstanden fra T til \(\alpha\).

b)

Bestem vinklen mellem \(\alpha\) og den flade der er udspændt af punkterne T, D og C.

c)

Bestem en parameterfremstilling for linjen l der går gennem punkterne T og F, samt bestem koordinatsættet til punktet B der ligger i planet \(\alpha\).

Opgave 11

Funktionerne

\[f(x)=10-2x^2, \qquad g(x)=3\]

Afgrænser tilsammen en punktmængde \(M\) som har et areal.

a)

Bestem arealet af punktmængden \(M\).

b)

Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme \(V\) der fremkommer når \(M\) drejes 360° om x-aksen.

Opgave 12

I en model kan mængden af dagstimer på en forskningsstation nær sydpolen som funktion af tiden beskrives ved funktionen

\[f(t)=-10.1 \sin(0.0137t-0.953)+13.2, \qquad 0\leq t \leq 365\]

Hvor at \(f(t)\) er antallet af dagstimer på døgnet målt til tiden \(t\) (målt i antal døgn efter 1. januar).

a)

Benyt modellen til at bestemme antallet af dagstimer på forskingsstationen til tidspunktet \(t=120\).

b)

Benyt modellen til at bestemme til hvilket tidspunkt at mængden af dagstimer på forskningsstationen er lavest.

c)

Bestem \(f'(120)\) og redegør for hvad dette tal fortæller os.

Opgave 13

Et kraftværk der generere strøm, tager noget tid at starte op. Vi benævner mængden af den generede strøm \(P(t)\) målt i megawatt som er en funktion af tiden \(t\), målt i minutter efter opstart. \(P(t)\) er en løsning til differentialligningen

\[2.5 \cdot\frac{dP}{dt}+P = 1200\]

Det oplyses at \(P(0)=0\)

a)

Bestem væksthastigheden af den genererede strøm når der bliver genereret 100 megawatt.

b)

Bestem en forskrift for \(P(t)\).

Opgave 14

funktionen \(f\) er bestemt ved forskriften

\[f(x)=(2x-8)^2\]

a)

Bestem en ligning for tangenten til grafen for \(f\) i punktet \((2,f(2))\).

b)

Tangenten til grafen for \(f\) i punktet \(P(k,f(k))\), skærer koordinatsystemets akser i punkterne Q og R (se tegning), når at \(0\leq k \leq 4\).

Bestem koordinatsættene til punkterne Q og R, udtrykt ved k.

c)

Arealet af den farvede trekant er givet ved formlen

\[T(k)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{k}{2}+2\right) \cdot(64-4k^2)\]

Bestem den værdi af k der gør arealet størst muligt.